Математика

Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий

 

Вспомним, что в арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему некоторого числа , которое называется разностью арифметической прогрессии:

 

В геометрической прогрессии, чтобы получить следующий член,  предыдущий необходимо умножить на некоторое число , называемое знаменателем геометрической прогрессии:

Такие соотношения называются рекуррентными, поскольку они выражают следующий член последовательности через предыдущие. Но для вычислений это не всегда удобно.

 

Задача 1. Тяжелоатлет Вася при подготовке к соревнованиям решил каждую неделю увеличивать массу штанги на  кг. Начал он со  кг. Штангу какой массы он будет поднимать к -й неделе тренировок?

Решение.

Отметим, что значения массы штанги в разные недели – это арифметическая прогрессия. Первый ее член , разность прогрессии . Нужно найти -й член этой прогрессии, т. е. . С помощью рекуррентной формулы это делать долго:

Можно ли как-то ускорить процесс подсчета?

Вспомним, что последовательность еще можно задать с помощью формулы n-го члена (аналитически). Попробуем это сделать для произвольной арифметической прогрессии. Выпишем первые члены:

Прибавляем еще  к :

Далее аналогично:

Видим, что для получения, например, -го члена нам нужно к первому члену прибавить   раза. Соответственно, чтобы получить -й член прогрессии, мы должны  прибавить  раз. Получаем формулу n-гочлена арифметической прогрессии:

С ее помощью мы легко решим задачу:

Тогда:

Ответ:  кг.

Аналогично можно получить и формулу -го члена геометрической прогрессии. Снова выпишем первые несколько членов:

Умножаем  еще на :

Аналогично:

Как и в случае с арифметической прогрессией, обобщим результат. Для получения n-го члена нужно умножить первый член на знаменатель прогрессии  раз. Получим формулу n-го члена геометрической прогрессии:

Итак, арифметическую и геометрическую прогрессию можно задать с помощью формулы n-го члена. В этих формулах присутствует два параметра – числа, которые определяют прогрессию: первый член () и разность  или знаменатель  в арифметической и геометрической прогрессии соответственно. Эти формулы можно преобразовать и получить в несколько другом виде. Подробнее об этом ниже.

---

 

Формулы -го члена прогрессий

Рассмотрим формулу n-го члена арифметической прогрессии:

Раскроем скобки около  и отдельно сгруппируем член с переменной  и отдельно – без него:

Обозначим:

Тогда:

Видим, что арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента (см. рис. 1).

Рис. 1. Арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента

Сравните со следующей функцией:

Аналогичным образом можно преобразовать и выражение для геометрической прогрессии – умножим и разделим правую часть формулы на :

Обозначим:

Тогда:

Если посмотреть на эту запись как на функцию натурального аргумента, то такая зависимость будет называться «показательной». Она имеет такое название, поскольку аргумент функции  является показателем степени. В старших классах вы еще будете изучать показательные функции, имеющие общий вид:

Сравните:

Т. е. геометрическую прогрессию еще можно назвать показательной функцией натурального аргумента (см. рис. 2).

Рис. 2. Геометрическая прогрессия является показательной функцией натурального аргумента

---

 

 

Сведение задачи с n-м членом к решению системы уравнений

 

 

В целом формулы n-го члена прогрессии достаточно для работы с прогрессиями. Какие бы ни были условия, мы всегда можем записать каждый член прогрессии в общем виде. Затем получится система уравнений, неизвестными в которой могут быть номер члена прогрессии, первый член ( или ), разность  или знаменатель . Решаем систему, получаем ответ.

 

Задание 1. Определить знаменатель геометрической прогрессии , если:

Решение.

Записываем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

Соответственно:

С учетом условия получаем систему:

Осталось решить систему и найти .

Разделим почленно первое уравнение системы на второе:

Т. к. , то:

Ответ:.

 

Свойства арифметической и геометрической прогрессий

 

 

Описанный метод сведения задачи к решению системы уравнений сработает всегда. Но иногда полученная система будет достаточно сложной или ее решение будет занимать много времени. Для облегчения задачи удобно использовать некоторые свойства, присущие членам арифметической или геометрической прогрессий.

 

Мы уже знаем, почему прогрессия называется арифметической: каждый ее член является средним арифметическим своих соседей:

Попробуем обобщить это свойство.

Рассмотрим члены прогрессии, равноудаленные от n-го, и преобразуем их сумму, используя формулу -го члена:

Обычно это свойство переписывают в виде:

и  формулируют так: любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому членов прогрессии, равноудаленных от него.

Аналогичное свойство можно получить и для геометрической прогрессии. Мы обсуждали, что любой член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому своих соседей:

Рассмотрим некоторый член прогрессии  и равноудаленные от него:

И для любых равноудаленных от n-го членов прогрессии:

Если извлечь квадратный корень из обеих частей равенства, получим:

Это свойство формулируют так: любой член геометрической прогрессии равен по модулю среднему геометрическому членов прогрессии, равноудаленных от него.

Интересно, что эти свойства прогрессий также являются и признаками этих прогрессий. Т. е. если указанные соотношения выполняются для всех членов последовательности, то она является, соответственно, арифметической или геометрической прогрессией.

---

 

Доказательство свойств

Рассмотренные свойства прогрессий можно еще обобщить. В арифметической прогрессии если сумма индексов двух членов прогрессии равна сумме индексов двух других, то суммы этих членов прогрессии также равны:

В геометрической прогрессии если сумма индексов двух членов прогрессии равна сумме индексов двух других, то произведения этих членов прогрессии также равны:

Докажем свойство для арифметической прогрессии:

Запишем в общем виде формулы каждого из членов:

Распишем суммы:

Поскольку , то:

Значит:

Аналогичным образом доказывается свойство и для геометрической прогрессии.

Доказано.

---

Задание 2. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию , в которой сумма крайних членов равна , а произведение средних – .

Решение.

Имеем геометрическую прогрессию : , в которой:

Задачу можно решить «в лоб», записав общий вид для каждого члена прогрессии и решив полученную систему:

Но проще воспользоваться свойством геометрической прогрессии. Сумма индексов , значит:

Получим систему, которую легче решить, чем предыдущую:

Решая систему, получаем два ответа:

Ответ: или .

---

 

Решение системы

Будем решать систему методом подстановки:

Из первого уравнения получаем:

Раскрываем скобки. Получили квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

Найдем корни квадратного уравнения:

Тогда:

---

Имеем две прогрессии:

1. ;
2. .

Найдем  и  в каждом случае.

1. Используя формулу -го члена геометрической прогрессии , получим:

Тогда:

Имеем прогрессию:

2. Аналогично:

Тогда:

Имеем прогрессию:

Ответ:  или .

 

Формулы суммы первых  членов арифметической и геометрической прогрессий

 

 

Иногда вам могут встретиться задачи, в которых фигурирует сумма членов прогрессии. Например, в магазине канцтоваров действует акция: первая ручка стоит  рублей, а каждая следующая стоит на  рубль дешевле предыдущей. Сколько вы потратите при покупке  ручек?

 

Тут нужно считать: . Можно ли как-то быстро вычислить эту сумму? И вообще научиться вычислять сумму членов арифметической прогрессии, зная первый член и ее разность?

Сумму первых  членов арифметической прогрессии  можно найти по формуле:

А сумму первых  членов геометрической прогрессии  можно найти по формуле:

Если же , то все члены геометрической прогрессии равны и сумма будет равна:

С доказательством этих формул вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Доказательство формул суммы прогрессий

Докажем, что сумму первых n членов арифметической прогрессии  можно найти по формуле:

Запишем два раза сумму, в прямом и обратном порядке:

Складывая, получаем:

Суммы индексов слагаемых в скобках одинаковы (равны ), значит, по свойству арифметической прогрессии, будут равны и суммы самих членов:

Т. е.:

Таких скобок всего  штук. Получаем:

Или окончательно:

Теперь докажем формулу для суммы геометрической прогрессии при :

Рассмотрим сумму:

Умножим обе части равенства на знаменатель прогрессии :

По определению геометрической прогрессии:

Тогда:

Вычтем из этого равенства предыдущее:

При раскрытии скобок в правой части сократится множество слагаемых. Останется:

Выражая , получаем:

---

Полученные формулы не очень удобны: в них для вычисления нужно знать n-й или -й член. Мы говорили, что прогрессия однозначно задается первым членом и разностью (знаменателем). Попробуем преобразовать формулы, чтобы можно было вычислять сумму, зная только эти характеристики прогрессии.

Формулы для суммы прогрессий можно преобразовать, используя формулу общего члена прогрессии:

С помощью полученных формул легко решить рассмотренную ранее задачу. Первая ручка стоит  рублей:

Каждая следующая – на  рубль дешевле предыдущей:

Общая стоимость  ручек:

 

Сведение задачи с суммой первых членов к решению системы уравнений

 

 

Обратите внимание, что полученные формулы для сумм содержат номер члена прогрессии , первый член (или ), разность  или знаменатель :

 

Соответственно, мы снова можем свести задачу к системе уравнений относительно этих неизвестных величин.

 

Задание 3. Шесть чисел образуют арифметическую прогрессию (). Сумма первых трех ее членов равна , а сумма трех последних равна . Найти эти числа.

Решение.

По условию сумма первых трех , а сумму первых шести  мы можем найти:

Воспользуемся формулой суммы первых  членов арифметической прогрессии:

Тогда:

Составим систему, состоящую из двух уравнений:

Отсюда:

Ответ: .

---

 

Решение системы

Вынесем за скобки общий множитель в первом уравнении системы:

Сократим дроби в каждом уравнении системы:

Разделим каждое уравнение системы на :

Решим систему уравнений методом сложения. Умножим левую и правую части первого уравнения системы на :

Складываем уравнения и получаем:

Тогда:

---

Найдем остальные члены прогрессии, используя формулу -го члена:

Тогда:

Ответ:.

 

Задание 4. Чтобы заасфальтировать участок длиной  м, используют два катка. Первый каток установили на одном из концов участка, второй – на противоположном. Работать они начали одновременно. За первую минуту первый каток прошел  м, за каждую следующую минуту он проходил на  м больше, чем за предыдущую. Второй каток за каждую минуту проходил  м. Через сколько минут оба катка встретятся?

Решение.

Составим математическую модель задачи. Пусть два катка встретятся через  минут, тогда второй каток проедет до встречи путь, равный  м, а первый проедет путь, который можно выразить с помощью суммы арифметической прогрессии, где :

Тогда, с учетом вышесказанного:

Весь путь равен  м, следовательно:

Решая данное уравнение, получаем корни:

 – это количество минут, поэтому  не удовлетворяет условию задачи. Значит, оба катка встретятся через  минут.

Ответ:  минут.

---

 

Решение уравнения

Преобразуем второе слагаемое в левой части уравнения:

Получим квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

---

 

 

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

 

 

Вернемся к формуле суммы геометрической прогрессии:

 

Рассмотрим случай, когда:

Если мы будем возводить такое число во все большую и большую степень, то оно будет становиться все меньше и меньше. Например:

И если мы возьмем очень большое , то  уменьшится практически до нуля:

Более строго в математике это записывают так:

Если мы возьмем бесконечное большое значение , то  будем считать равным нулю.

Что это значит для нашей формулы суммы геометрической прогрессии? Это значит, что сумма бесконечного количества членов геометрической прогрессии при  будет равна:

Например, при  получим:

Но как так? Мы складываем бесконечно количество положительных чисел, а получаем ? Посмотрим, что это за числа в нашем примере:

Представьте: у вас есть торт. Вы разрезали его пополам, съели половину  (см. рис. 3).

Рис. 3. Торт разрезали пополам и съели половину

Оставшуюся половинку разрезали еще пополам и съели одну часть  (см. рис. 4).

Рис. 4. Оставшуюся половину торта  разрезали пополам и съели одну часть

Теперь вы съели  торта. Оставшуюся половинку делите еще пополам и берете одну часть .

Рис. 5. Оставшуюся половину торта  разрезали пополам и съели одну часть

Итого:

И так вы можете делить до бесконечности! В итоге, если это действительно происходило бесконечное количество раз, то вы бы съели весь торт.

Но бесконечность – это все же математическая абстракция. Мы не можем есть торт бесконечно. И за очень большое, но все же конечное число таких операций мы бы съели почти весь торт:

Решение задачи с использованием формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии вы можете посмотреть ниже.

---

 

Задача с бесконечной геометрической прогрессией

Задача 1. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии , сумма которой равна , а второй член равен .

Решение.

Для решения задачи будем использовать формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии и n-го члена геометрической прогрессии:

Учитывая, что , составим и решим систему:

Разделим почленно второе уравнение системы на первое:

Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней уравнения:

Откуда:

Значение  не удовлетворяет условию . Следовательно:

Тогда:

Ответ:

---

 

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал math10.com (Источник)
3. Интернет-портал bymath.net (Источник)

 

Домашнее задание

1. Сумма второго и шестого членов убывающей арифметической прогрессии равна . Произведение третьего и пятого ее членов равно . Найти первый член этой прогрессии.
2. Найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, если , .
3. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна . Если к первому числу прибавить , ко второму прибавить , а третье оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа.