Математика
Тема 11: Прогрессии. Профильный уровеньУрок 3: Числовая последовательность и способы ее задания
- Видео
- Тренажер
- Теория
Повторение. Числовая функция
Пусть – числовое множество.
Числовой функцией
называется закон, по которому каждому элементу из
сопоставляется единственное число.
Множество – это область определения.
Числовая последовательность
Числовая последовательность – это числовая функция (
), которая определена на множестве натуральных чисел (
).
Областью определения является множество натуральных чисел ().
Обозначают члены последовательности так:
;
;
;…;
Числовая последовательность – это частный случай функции. Как и любая функция, последовательность может задаваться различными способами.
Способы задания числовой последовательности:
1. Аналитический (при помощи формулы)
2. Словесный
3. Рекуррентный
Аналитический способ задания числовой последовательности
Последовательность задана аналитически, если указана формула для вычисления ее -го члена.
, где
Рассмотрим примеры:
1. ,
Это аналитическое задание последовательности чисел: ;
;
;…;
;… Указав конкретное значение
, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.
Построим график данной последовательности. Согласно определению графика функции, графиком данной последовательности является множество всех точек , где
(см. Рис. 1). Все эти точки лежат на правой ветви гиперболы
.
Рис. 1. График числовой последовательности
Функция при
убывает, следовательно, числовая последовательность
также убывает.
2.
Выпишем несколько членов данной числовой последовательности:
;
;
;…
График данной последовательности – это множество точек с координатами , где
(см. Рис. 2). Все эти точки лежат на ломаной
.
Рис. 2. График числовой последовательности
Числовая последовательность убывает при
, возрастает при
.
Словесный способ задания числовой последовательности
Словесный способ задания числовой последовательности используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы.
Пример
Дано: – это -я цифра после запятой в десятичной записи числа
.
;
;
;
;
;…
Рекуррентный способ задания числовой последовательности
Последовательность задана рекуррентно, если указано правило, по которому -й член вычисляется по предыдущим членам.
Пример
;
;
, где
В данном примере задана возможность получения любого -го члена последовательности:
;
;
;
;
;…
Задача 1
В числовой последовательности ;
;
, где
найти 7 член.
Решение
Для того чтобы найти 7 член данной последовательности, необходимо знать 5 и 6 член. В предыдущем примере мы нашли 3, 4 и 5 член, следовательно, можно найти 6, а далее и 7 член.
;
;
;
Ответ: .
Задача 2
Дано:
Найти:
Решение
Подставляем в формулу для -го члена последовательности
:
Ответ: .
Задача 3
Дано:
Найти: является ли число некоторым членом заданной последовательности?
Решение
Приравниваем формулу для -го члена последовательности к числу
, получим уравнение относительно
. Если
будет натуральным числом, то число
является членом заданной последовательности.
Следовательно:
Ответ: число является 5 членом заданной последовательности.
Задача 4
Укажите формулу общего члена последовательности, которая задана несколькими членами: 1; 4; 9; 16; 25.
Решение
Запишем каждый член последовательности в следующем виде:
Видно, что члены последовательности представляют собой квадраты последовательных натуральных чисел. Таким образом, делаем вывод, что:
, где
Ответ:, где
.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Сурвило Г.С. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина, 2003.
3. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт hijos.ru (Источник)
3. Интернет-сайт Hellper.ru (Источник)
4. Интернет-сайт YouTube (Источник)
Домашнее задание
1. Упражнения 1, 7 (в-е), 8, (глава 11,§1 стр. 219) – Виленкин Н.Я., Сурвило Г.С. Алгебра 9 кл. (Источник)
2. Найти 15 член последовательности, заданной формулой -го члена: ,
3. Последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения ,
,
. Выписать несколько первых членов этой последовательности.
4. Проверить, являются ли числа и
членами последовательности