Математика

Принцип домино

 

Существует такое понятие, как принцип домино. Представьте, что рядом стоят несколько косточек, мы толкаем одну из них, она, падая, толкает вторую, та – третью и т. д. (см. рис. 1). Существуют даже специальные турниры по падающему домино – команды часами собирают конструкции из домино с тем, чтобы насладиться их красивым падением.

 

Рис. 1. Принцип домино

Для того чтобы сработала такая цепная реакция, необходимо:

1. уронить первую косточку домино;

2. расставить косточки так, чтобы падение предыдущей косточки влекло за собой падение следующей.

Похожий принцип лежит в основе важного метода, который используют в математике. Этот метод называется математической индукцией. Метод математической индукции является важным способом доказательства утверждений при любом натуральном значении переменной.

Рассмотрим, в чем состоит данный метод, разобрав конкретный пример.

 

Задача 1

 

 

Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до  равна .

 

Доказать: .

Доказательство

Согласно методу индукции, во-первых, необходимо доказать базу индукции, то есть проверить выполнение данного в условии утверждения для первого значения .

База:

Так как в левой части утверждения записана сумма всех натуральных чисел от 1 до , то число  отражает число слагаемых в левой части. Следовательно, докажем:

 

Таким образом, база доказана.

Далее необходимо доказать индукционный переход. Предположим, что данное в условии утверждение уже доказано для , то есть нам известно, что:

Требуется доказать, что данное в условии утверждение верно для , то есть доказать:

Сумму чисел  можно представить как . По нашему предположению сумма чисел от одного до  равна , следовательно:

Получаем:

 

 - истинное утверждение

Мы доказали, что если утверждение  верно для , то оно верно и для . При этом  может быть любым числом.

Таким образом, согласно методу математической индукции исходное равенство справедливо для любого натурального .

 

Суть метода математической индукции на примере задачи 1

 

 

Согласно базе утверждение  верно при . Доказано, что утверждение верно также и для , если оно верно для .

 

Таким образом: если утверждение верно при  (), то оно верно и при  (); если утверждение верно при , то оно верно и при  (, а в этом случае ); если утверждение верно при , то оно верно и при  (, а в этом случае ) и т. д. В итоге мы доказали, что утверждение  верно для любого натурального n.

Метод математической индукции состоит в следующем

Какое-либо утверждение, зависящее от натурального числа , справедливо для любого натурального  если:

1. утверждение является истинным при ;

2. утверждение остается истинным, если  увеличить на единицу.

 

Задача 2

 

 

Докажите, что выражение  делится на 5 для любого натурального .

 

Доказать:

Доказательство

1. База индукции:

Проверяем данное утверждение для :

 

– верно, следовательно, база доказана.

2. Индукционный переход:

Предположим, что для  выражение  делится на 5:

Необходимо доказать, что при  выражение  делится на 5, то есть докажем, что:

 

 можно представить в виде:

 

Рассмотрим выражение . Согласно предположению () делится на 5, следовательно:

 

Так как разница в 5 не влияет на делимость на 5, то к выражению () можно прибавить 5 и новое выражение также будет делиться на 5:

 – индукционный переход доказан.

3. Мы доказали, что если утверждение  верно для , то оно верно и для . Следовательно: если при  утверждение верно, то оно верно и для ; если при  утверждение верно, то оно верно и для ; если при  утверждение верно, то оно верно и для  и т. д. Поэтому утверждение  верно для любого натурального . Что и требовалось доказать.

---

Принцип математической индукции

Представьте себе робота, который умеет делать две вещи: подходить к лестнице и забираться на одну ступеньку вверх (причем неважно, на какой ступеньке он до этого находился). Может ли этот робот забраться с первого этажа на второй? Конечно. Для этого ему надо подойти к лестнице, а затем применить вторую операцию – забраться на ступеньку. Потом снова применить вторую операцию – подъем на ступеньку. И так применять второе действие столько раз, сколько есть ступенек. При этом если роботу дать команду: поднимись на второй этаж, он не поймет, так как умеет выполнять только две операции – подходить к лестнице и забираться на одну ступеньку.

Так же работает метод математической индукции. База индукции – это подход к лестнице (утверждение для ). Переход индукции – это подъем на одну ступеньку вверх (робот не уточняет, каким образом он оказался на очередной ступеньке, а просто делает действие, переходя с предыдущей ступеньки на следующую). То есть, если мы доказали утверждение для , то оно верно для  и т. д.

---

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Сурвило Г.С. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса. – М.: Просвещение, 2002.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт studyport.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Математика для школы» (Источник)

3. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)

4. Интернет-сайт YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упражнения 13, 16, 18 (§2 стр. 244–245) Виленкин Н. Я., Сурвило Г. С. Алгебра 9 кл. (Источник)

2. Доказать, что для всех натуральных  справедливо равенство 

3. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.