Математика

 

 

Тема: Прогрессии

 

Урок: Определение и свойства арифметической прогрессии, формула n-го члена

 

1. Определение арифметической прогрессии

 

 

Вспомним, что числовая последовательность – частный случай функции, функции, определенной на множестве натуральных чисел. Арифметическая прогрессия – частный случай числовой последовательности.

 

Рассмотрим примеры, дающие представление об арифметической прогрессии.

1. Задана последовательность чисел:

Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член больше предыдущего на 4 (обозначим это число буквой d), т.е.  Данную последовательность можно задать рекуррентно: . Заметим, что эта последовательность является возрастающей  () .

2. Задана последовательность чисел:  В этой последовательности все числа равны между собой, .

3. Задана последовательность чисел:

Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член меньше предыдущего на 2. Чтобы получить последующий член надо к предыдущему прибавить число (-2), т.е.  Данную последовательность можно задать рекуррентно: . Заметим, что эта последовательность является убывающей () .

Дадим определение  арифметической прогрессии.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

Арифметическая прогрессия обозначается следующим образом:.

Арифметическая прогрессия может быть задана рекуррентно:  

Непосредственно из определения арифметической прогрессии следуют такие свойства:

- если , то арифметическая прогрессия - возрастающая;

- если , то арифметическая прогрессия - убывающая.

 

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

 

 

Из определения арифметической прогрессии следует истинность равенств: . Тогда

 

  и т.д. Значит,

Т.е., зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию считают заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу  называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

 

3. Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

 

 

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать с помощью метода математической индукции.

 

Дано: , .

Доказать:  (1)

Доказательство.

Формула (1) верна при n=1. Действительно, .

Предположим, что формула (1) верна при n=k, т.е. .

Докажем, что формула (1) верна и при n=k+1, т.е. .

Из условия  и предположения  получаем:

.

Согласно принципу математической индукции формула (1) верна для любого натурального числа.

 

4. Исследование арифметической прогрессии

 

 

Из формулы n-го члена арифметической прогрессии следует, что

 

. Это означает, что арифметическая прогрессия зависит от n, т.е. является функцией натурального аргумента.

Вывод: арифметическая прогрессия – это линейная функция натурального аргумента , где .

Если , то линейная функция возрастает и арифметическая прогрессия - возрастающая;

если , то линейная функция убывает и  арифметическая прогрессия - убывающая.

 

5. Примеры

 

 

Пример 1.

 

Дано: =.

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .

Доказать: - возрастающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

.Тогда , т.е. .

Поскольку , заданная арифметическая прогрессия – возрастающая.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции  и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).

Рис. 1. График функции

Пример 2.

Дано: =.

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

.

Тогда  для любого натурального числа.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции  и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис.  2).

Рис. 2. График функции

Пример 3.

Дано: =.

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .

Доказать: - убывающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

.

Тогда , т.е. .

Поскольку , заданная арифметическая прогрессия – убывающая.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции  и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).

Рис. 3. График функции

Пример 4.

Дано: , .

Найти: ; наименьший положительный член.

Решение.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: .

Тогда , т.е. .

Чтобы найти наименьший положительный член, надо опять воспользоваться формулой  n-го члена арифметической прогрессии.

. Тогда , и значит .

Наименьший положительный член прогрессии .

Ответ: ; - наименьший положительный член.

Пример 5.

Дано: , .

Найти: .

Решение.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: .

Тогда , , .

Ответ: .

 

6. Итог урока

 

 

На уроке мы познакомились с арифметической прогрессией и ее свойствами. вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. На следующем уроке рассмотрим формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 346, 348, 354, 360 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.83 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).