Математика

Метод подстановки в линейных системах

 

Дана линейная система двух уравнений с двумя неизвестными х и у, решаем методом подстановки:

 

Выражаем у через х, подставляем это выражение в первое уравнение:

          

Видим, что первое уравнение зависит только от х, решаем первое уравнение отдельно:

Зная х, находим значение у:

 

Суть метода подстановки

 

 

Суть метода подстановки:

 

Выразить одну переменную через другую из любого уравнения системы.

Подставить полученное выражение в другое уравнение системы и решить как одно уравнение с одной неизвестной переменной.

Зная одну переменную, найти другую из исходного уравнения.

Метод позволяет свести решение системы к решению одного уравнения с одним неизвестным.

 

Специфика линейных систем

 

 

Система линейных уравнений может иметь одно решение, иметь бесконечное множество решений и может не иметь решений.

 

Метод подстановки все это показывает.

Пример 1

Решить систему уравнений:

Решение:

Находим х, выражая его через у. В этой системе это удобно сделать в первом уравнении. Подставляем его во второе уравнение, раскрывая скобки в нем, приводим подобные члены и приходим к противоречию. То есть данная система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Можно показать противоречивость этой системы по-другому.

Первое уравнение остается без изменений, а второе делим почленно на -2. Получим, что  

 

Система противоречива, потому что каждое линейное уравнение имеет геометрический образ – прямую линию. Прямые линии могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или же совпадать.

 

Метод подстановки в нелинейных системах

 

 

Пример 1

 

Решите систему уравнений:

Уравнение х+3у=5 – это линейное уравнение, второе уравнение – ху=2 – нелинейное. Значит, вся система нелинейная.

Решение:

Удобно выразить х через у в первом уравнении, подставляем полученное уравнение во второе. Решаем второе уравнение, раскрываем скобки, приводим к стандартному виду и получаем квадратное уравнение. Получив корни квадратного уравнения, находим х₁ через у₁, также х₂ через у₂.

Решение получилось с двумя парами чисел. Первые числа в скобках – это х, вторые числа – у.

Ответ: (2;1); (3;).

 

Решение методом подстановки в нелинейных системах

 

 

Пример 1

 

Решите систему уравнений:

Уравнение  – это линейное уравнение, второе уравнение –  – нелинейное. Значит, система вся нелинейная.

Решение:

Выбираем, что удобнее выразить, х или у. Подставлять нужно во второе уравнение, удобнее будет решать со значением в первой степени, значит, выразим у через х. Подставим первое уравнение  во второе, имеем уравнение с одной неизвестной х, решаем его отдельно. Выписываем теорему Виета и получаем корни x₁ и x₂. Подставляем полученные значения х в первое уравнение.

 

Ответ: (6;5); (-4;-5).

 – знак эквивалентности множества решений систем.

Пример 2

Решите систему уравнений:

Решение:

Из второго уравнения выражаем у. Подставляем в первое уравнение, полученное уравнение с одним неизвестным решаем отдельно. Упрощаем уравнение, разделяем обе части уравнения почленно на 2. Раскрываем скобки, приводим подобные члены, получаем квадратное уравнение. Для удобства избавляемся от знака минус перед х², умножив обе части уравнения на -1. Видно, что корни этого уравнения можно найти с помощью теоремы Виета. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная х₁, находим у_1, а через х₂ находим у₂.

Ответ: (12;16); (4;0).

Пример 3

Решите систему уравнений:

Решение:

Из второго уравнения находим х через у. Полученное выражение подставляем в первое уравнение, решаем его отдельно. Раскрываем скобки, приводим подобные члены, затем сокращаем на 5. Полученное простое уравнение можно решить и через теорему Виета, и через дискриминант. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная у₁, находим х_1, а через у₂ находим х₂.

Ответ: (3;1); (-3;-2)

Пример 4

Решите систему уравнений:

Решение:

В этом уравнении сначала необходимо избавиться от дроби, учитывая, что у+1≠0 т. е. у≠-1. Избавившись от дроби, получаем линейное уравнение, в котором х выражен через у, подставляем его в первое уравнение. Затем полученное уравнение сокращаем, для удобства решения, на 4 и находим у. Подставляем их в исходную систему, зная у₁, находим х_1, а через у₂ находим х₂.

Ответ: (8;1); (-8;-3).

Пример 5

Решите систему уравнений: 

Решение:

Для того чтобы решить систему, нужно упростить второе уравнение, при этом учесть ху≠0. Приводим все к общему знаменателю 4ху, дробь будет равна нулю, если знаменатель не равен нулю, а числитель равен нулю.

--=0

Вместо второго уравнения с дробями, ставим его выражение в виде, полученном после приведения к общему знаменателю. А из первого уравнения выражаем у через х. Подставляем во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены, решаем с помощью теоремы Виета. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная х₁, находим у_1, а через х₂ находим у₂.

Ответ: (2;4); (12;-6).

 

Квадратное уравнение

 

 

ах²+bx+c=0 – стандартный вид

 

a ≠ 0

Теорема Виета:

   

 – разложение на множители

Подбор корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета

Очень часто можно подобрать решение уравнения, рассмотрим на примере предыдущего уравнения:

 –коэффициенты 3 и 2 уравновешены, в сумме дают 5, значит

– подставив первый корень в теорему Виета, получаем второй корень уравнения.

Ответ: ;

Чтобы убедиться в эффективности теоремы, рассмотрим еще такое квадратное уравнение:

 – коэффициенты тоже уравновешены, следовательно

 – из теоремы Виета находим второй корень.

Ответ: ;                   

Решение с помощью теоремы Виета позволило избежать громоздкого решения через дискриминант.

 

Заключение

 

 

Мы рассмотрели метод подстановки и решили им серию линейных и нелинейных систем. На следующем уроке мы рассмотрим метод алгебраического сложения для решения систем.

 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. – 16-е изд. – М.: 2011. – 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М.: 2010. – 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. – М.: 2010. – 223 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил. № 120–124.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).