Математика

Метод алгебраического сложения на примере линейных систем

 

Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.

 

Пример 1. Решить систему

Решение:

Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно x.

Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся x, и мы получим уравнение относительно y. В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.

  

Ответ:

Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.

 

Метод алгебраического сложения с предварительным уравниванием коэффициентов

 

 

Пример 2. Решить систему

 

Решение:

Член  присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе. 

Ответ: (2; -1).

Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.

Рассмотрим еще одну линейную систему.

 

Решение нелинейных систем

 

 

Пример 3. Решить систему

 

Решение:

Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на 3, второе – на 4.

 

Ответ:

Пример 4. Решить систему

Решение:

Уравняем коэффициенты при x

 

Можно сделать иначе – уравнять коэффициенты при y.

 

Ответ:

Мы решили систему, дважды применив метод алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения применим и при решении нелинейных систем.

Пример 5. Решить систему  

Решение:

Сложим эти уравнения, и мы избавимся от y.

 

Эту же систему можно решить, дважды применив метод алгебраического сложения. Сложим и вычтем из одного уравнения другое.

 

Ответ:

Пример 6. Решить систему

Решение:

 

 

Ответ:

Пример 7. Решить систему

Решение:

Методом алгебраического сложения избавимся от члена xy. Умножим первое уравнение на .

 

 

 

Первое уравнение остается без изменений, вместо второго записываем алгебраическую сумму.

 

Далее применяем метод подстановки.

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Решение:

Умножим второе уравнение на 2, чтобы выделить полный квадрат.

 

Наша задача свелась к решению четырех простейших систем.

 

 

 

 

Ответ:

 

Заключение

 

 

Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем. На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 – 127.