Математика

 

 

Тема: Системы уравнений

 

Урок: Метод введения новых переменных

 

1. Тема урока, введение

 

 

На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных.

 

 

2. Пример на введение новых переменных

 

 

Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет.

 

Пример 1. Решить систему

Решение.

Полезно ввести новые переменные  

 

Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.

   

Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.

 

Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.

Решим систему методом подстановки.

 

Ответ:

 

3. Основные сведения о квадратных уравнениях

 

 

Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них:

 

Квадратное уравнение в общем виде:

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант:

Если b – четное число, имеем формулу:

Напомним теорему Виета: Если  корни квадратного уравнения , то

Верно и обратное: Если числа  удовлетворяют системе  , то они являются корнями квадратного уравнения .

Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на  Получим  

Получили новое уравнение относительно новой переменной  

 

Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении).

 

4. Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных

 

 

Пример 2. Решить уравнение

 

Решение:

 

 

;

 

Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа.

По теореме Виета  

 

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

 

  

 

 

Получили приведенное квадратное уравнение относительно z.

По теореме Виета

 

Ответ:

Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения.

 

5. Решение систем уравнений

 

 

После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему:

 

Пример 4. Решить систему

Решение: Произведем замену:

 

 

 

 

 

 

Вернемся к исходной системе:

   

Ответ:

Пример 5. Решить систему:

Решение:

Введем новую переменную:  Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной.

 

 

 

Исходная система свелась к совокупности двух систем:

Каждую систему решаем методом подстановки.

1.

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

Находим y при известных x.

  

Ответ:

 

6. Пример симметрической системы

 

 

Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не изменится, если переменные поменять местами.

 

 

Решение: Произведем замену

Получаем систему:

 

Мы ввели новые переменные, и нашли их.

Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:

 

1.

 

 

 

2.  

 

нет решений.

Ответ:  

Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.

 

 

7. Заключение

 

 

Мы рассмотрели метод введения новых переменных. На следующем уроке рассмотрим системы повышенной сложности.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 128, 129.