Математика

Формулировка, анализ и доказательство теоремы о площади треугольника через синус

 

Сформулируем, проанализируем и докажем теорему о площади треугольника.

 

Теорема звучит так:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем данную теорему в стандартных для треугольника обозначениях.

Рис. 1. Площадь треугольника

Формула площади треугольника (рис. 1) имеет такой вид:

 

Докажем данную теорему.

Дано: (рис. 2)

Доказать:

 

Доказательство теоремы о площади треугольника через синус координатным методом

 

 

Доказательство:

 

Любой треугольник АВС имеет не менее двух острых углов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Пусть острыми являются угол  и угол . Тогда высота АН= находится внутри треугольника АВС, потому что иначе сумма углов в треугольнике  (рис. 2) превышала бы 180 градусов (угол  прямой, так как  – высота; а угол при вершине В тупой, так как угол  (по условию).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Получили два прямоугольных треугольника общим катетом АН=. Для нахождения данного катета мы используем свойство сторон и углов прямоугольного треугольника: гипотенузу умножаем на синус противолежащего угла:     

 

Подставим данное значение в формулу площади треугольника:

 

Получаем:

 

Мы доказали две формулы из трёх через острые углы . Если угол α острый, доказательство будет аналогичное. Если угол α будет прямым, доказательство очевидное (. При  высота С= находится вне треугольника АВС (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим треугольник  . В нём угол . Чтобы найти катет , нужно гипотенузу умножить на синус противолежащего угла:

 

 

          

Подставляем в формулу для площади треугольника  () значение катета :

 

Мы доказали и третью формулу. Следовательно, доказали теорему.

Также эту теорему можно доказать координатным методом (рис. 4).

Дано: треугольник АВС, ,

Доказать:

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Координаты вершины А определяются через длину АС=b и угол γ. В предыдущих уроках мы выяснили, что координаты точки А будут . А  – это высота , то есть ордината точки А.

   

Подставляем в формулу площади треугольника:

 

Формула доказана независимо от величины углов треугольника – за начало координат была взята точка С. Остальные 2 формулы получаются аналогично, если за начало координат взять точку А или В.

Полученные формулы можно использовать во многих задачах.

 

Задача 1 - нахождение площади треугольника

 

 

Дано: треугольник АВС, АВ= см, АС=4 см, ⦟А=(рис. 5)

 

Найти: площадь треугольника АВС

Решение:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Для решения данной задачи воспользуемся ранее доказанной теоремой.

 

Подставляем известные значения:

 

 

 

Задача 2-доказательство   формулы площади параллелограмма

 

 

Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

 

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма. Диагональ BD рассекает параллелограмм на два треугольника.  (рис. 6) по трём равным сторонам (противоположные стороны в параллелограмме равны, следовательно, АВ=CD, AD=BC. Сторона BD – общая для двух треугольников.). Отсюда следует, что площади этих двух треугольников тоже равны.

Площадь параллелограмма

 

Согласно теореме о площади треугольника

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

 

Значит, площадь параллелограмма равна

 =

Можно рассмотреть и угол В. Он равен , следовательно, . Поэтому площадь параллелограмма можно рассчитать через :

 

Формула для площади параллелограмма доказана.

 

Задача 3-сравнение площадей треугольника

 

 

Треугольники ADB и ADC параллелограмма ABCD . Доказать, что площади этих треугольников равны.

 

Доказательство:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Площади первого и второго треугольника есть произведение половины основания на высоту (рис. 7). Основание у них одинаковое (AD), высота, опущенное на это основание, также одинаковая, следовательно:

 

 

Задача 4-нахождение стороны треугольника через формулу площади

 

 

Дано:, АС15 см,

 

Найти: сторону АВ (рис. 8)

Решение:

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Найдём сторону АВ через формулу площади треугольника

 

Подставляем известные величины:

 

 см

 

 

Задача 5-доказательство  формулы площади параллелограмма через диагонали  (первый способ)

 

 

Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

 

Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 9)

Доказать:

Доказательство: первый способ:

Учтём, что угол α и угол  имеют один и тот же синус:

 

Площадь треугольника АОВ (согласно теореме о площади треугольника):

 

Площадь треугольника ВОС: 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

 

Так как синусы равны, то и . Учитывая, что , а , мы доказали, что диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника.

Поэтому для нахождения площади параллелограмма достаточно найти площадь одного из треугольников и умножить на 4.

   

Так как , то

Что и требовалось доказать.

 

 

Задача 5-доказательство  формулы площади параллелограмма через диагонали  (второй  способ)

 

 

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Из точки С диагонали АС проводим прямую CР, параллельную другой диагонали (BD). Получаем параллелограмм BDPC, треугольник ABD равновелик треугольнику DCP, так как

Основания и высота у них одинаковы.

Таким образом, отнимая от параллелограмма ABCD треугольник ABD и прибавляя треугольник DCP, получаем треугольник АСР с такой же площадью, как у исходного параллелограмма. И площадь этого треугольника равна:

 

 

    

Так как СРBD и  , то

  

Что и требовалось доказать.

 

Задача 6-нахождение площади треугольника

 

 

Дано: , , высота ВН=h

 

Найти: площадь треугольника АВС (рис. 11)

Решение:

                                           

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Согласно теореме о площади треугольника

 

Выражаем АВ и ВС через h и другие известные величины. АВ является

гипотенузой в прямоугольном треугольнике АВН, поэтому:

, при  (рис. 11 а)

, при  (рис. 11 б)

Аналогично находим ВС (). В обоих случаях:

Подставляем данные значения в формулу площади треугольника:

 

 

Подведение итогов урока

 

 

На данном уроке мы доказали теорему о площади треугольника через синус его

 

угла и решили задачи по данной теме.

           

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. 2mb.ru (Источник).
3. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. В треугольнике ABC AB = 1 см, BC = 2 см, , . Найдите площадь треугольника. 
2. Для определения площади треугольника АВС измерили две его стороны a и b и угол между ними γ. Вычислить площадь (a= 125 мм, b= 160 мм, γ = 52).
3. Площадь треугольника АВС равна 18. АС = ВС = 3. Найдите сторону АВ.