Математика

Формулировка и доказательство теоремы синусов

 

Сформулируем, проанализируем и докажем теорему синусов. Теорема звучит так:

 

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Запишем данную теорему формулой в стандартных для треугольника обозначениях (рис. 1).

Рис. 1. Треугольник

Формула для данной теоремы выглядит так (рис. 2):

        

Докажем данную теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

1.     

 

На b сокращаем, синусы помещаем в знаменатели:

 

2.     

 

Из этих двух соотношений получаем:

 

Теорема доказана.

 

Формулировка и доказательство следствия из теоремы синусов

 

 

Из теоремы синусов вытекает важное следствие.

 

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

 ,

где R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 2).

Следовательно, мы получили три формулы радиуса описанной окружности:

Но, по существу, весь смысл следствия из теоремы синусов заключён в формуле:

 

Радиус описанной окружности не зависит от угла α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства рассмотрим три случая:

1. Угол  – острый в треугольнике АВС (рис. 3)

                                  

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Проведём диаметр . В этом случае точка А и точка  лежат в одной полуплоскости от прямой ВС. Используем теорему о вписанном угле и видим, что . Треугольник        прямоугольный, в нём угол  равен 90, так как он опирается на диаметр .

Для того чтобы найти катет a в треугольнике , нужно гипотенузу В=2R (R – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла.

  

Следовательно

                   

В первом случае теорема доказана.

2. Угол  – тупой в треугольнике АВС (рис. 4)

Проведём диаметр окружности . Точки А и  по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник  вписан в окружность, и его свойство таково, что сумма противолежащих углов равна . Следовательно, =.

Вспомним данное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (рис. 4):

=

Также мы знаем, что .

В треугольнике  угол при вершине С равен 90, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:           

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

 

 

Следовательно

       

Во втором случае теорема доказана.

3. Угол  (рис. 5)

           

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона , где R – это радиус описанной окружности. Следовательно:

И в третьем случае теорема доказана.

 

Повторение теоремы о вписанном в окружность угле

 

 

Из теоремы синусов и следствия из неё мы видим, что радиус описанной окружности можно найти, зная только одну сторону треугольника и синус противолежащего угла. Но треугольник не задаётся только этими величинами. То есть получается, что треугольник ещё не задан, а мы уже можем найти радиус описанной окружности. Объясним этот факт, повторив теорему о вписанном в окружность угле и следствиях из неё.

 

Теорема о вписанном угле:

Вписанный в окружность угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

                                                                      

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

А=α опирается на дугу ВС (рис. 6). Дуга ВС содержит столько градусов, сколько градусов её центральный угол . То есть теорема утверждает:

  

 

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

 

 

Следствие 1 из теоремы звучит так:

 

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

ВАС опирается на дугу ВС (рис. 7). Поэтому

 

Если мы возьмём точки  и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке 7 мы видим множество треугольников, у которых общая одна сторона (СВ) и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, их объединяет то, что радиус описанной окружности у них одинаковый.

 

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

 

 

Следствие 2 из теоремы о вписанном угле:

 

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые.                   

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

ВС – диаметр описанной окружности, следовательно  (рис. 8).

 

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

 

 

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле:

 

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180.

В этом следствии утверждается, что

  

Угол А=α опирается на дугу DCB (рис. 9). Поэтому  (по теореме о вписанном угле). Угол  опирается на дугу DAB. Поэтому . Но так как 2α и 2γ – это вся окружность, то

 

Следовательно

          

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

 

Поэтому

 

 

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

 

 

Следствие 4 из теоремы звучит так:

 

Синусы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны.

 (рис. 9)

Так как , то

 

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач.

 

 

Задача с применением теоремы синусов и следствии из неё

 

 

Дано: В треугольнике АВС:  (рис.10)

 

Найти: 1. АС; 2. R – радиус описанной окружности

Решение.

1. Найдём АС.

В треугольнике нам известны два угла, поэтому находим третий, исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180:

 

Для нахождения АС воспользуемся теоремой синусов:

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

 

АС=

АС см

2. Находим радиус описанной окружности.

Нам поможет следствие из теоремы синусов:

 

 

6 см

 

Подведение итогов урока

 

 

На данном уроке мы рассмотрели и  доказали теорему синусов и следствие из неё, а так же решили задачу по этой теме.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2.  Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. Files.school-collection.edu.ru (Источник).
3. Ru.solverbook.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45, а противолежащий основанию угол равен 60. Найдите сторону, противолежащую углу в 45.

2. В треугольнике АВС  , ,  . Найти АС .

3.

В 12.00 часов нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В 12.00 часов инспектор ГАИ помчался по просёлку со скоростью 70 км/ч наперерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у перекрёстка шоссе и просёлка?