Математика
Тема 15: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Профильный уровеньУрок 2: Теорема синусов
- Теория
Формулировка и доказательство теоремы синусов
Сформулируем, проанализируем и докажем теорему синусов. Теорема звучит так:
стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Запишем данную теорему формулой в стандартных для треугольника обозначениях (рис. 1).
Рис. 1. Треугольник
Формула для данной теоремы выглядит так (рис. 2):
Докажем данную теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
1. 
На b сокращаем, синусы помещаем в знаменатели:
2. 
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема доказана.
Формулировка и доказательство следствия из теоремы синусов
Из теоремы синусов вытекает важное следствие.
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
,
где R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 2).
Следовательно, мы получили три формулы радиуса описанной окружности:
Но, по существу, весь смысл следствия из теоремы синусов заключён в формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от угла α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства рассмотрим три случая:
1. Угол 
– острый в треугольнике АВС (рис. 3)
Рис. 3. Иллюстрация к теореме
Проведём диаметр 
. В этом случае точка А и точка 
лежат в одной полуплоскости от прямой ВС. Используем теорему о вписанном угле и видим, что 
. Треугольник 
прямоугольный, в нём угол 
равен 90
, так как он опирается на диаметр .
Для того чтобы найти катет a в треугольнике , нужно гипотенузу В=2R (R – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла.
Следовательно
В первом случае теорема доказана.
2. Угол 
– тупой в треугольнике АВС (рис. 4)
Проведём диаметр окружности . Точки А и по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник 
вписан в окружность, и его свойство таково, что сумма противолежащих углов равна 
. Следовательно, 
=
.
Вспомним данное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (рис. 4):
=
Также мы знаем, что 
.
В треугольнике угол при вершине С равен 90, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Следовательно
Во втором случае теорема доказана.
3. Угол 
(рис. 5)
Рис. 5. Иллюстрация к теореме
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона 
, где R – это радиус описанной окружности. Следовательно:
И в третьем случае теорема доказана.
Повторение теоремы о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и следствия из неё мы видим, что радиус описанной окружности можно найти, зная только одну сторону треугольника и синус противолежащего угла. Но треугольник не задаётся только этими величинами. То есть получается, что треугольник ещё не задан, а мы уже можем найти радиус описанной окружности. Объясним этот факт, повторив теорему о вписанном в окружность угле и следствиях из неё.
Теорема о вписанном угле:
Вписанный в окружность угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.
Рис. 6. Иллюстрация к теореме
А=α опирается на дугу ВС (рис. 6). Дуга ВС содержит столько градусов, сколько градусов её центральный угол 
. То есть теорема утверждает:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Следствие 1 из теоремы звучит так:
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Рис. 7. Иллюстрация к теореме
ВАС опирается на дугу ВС (рис. 7). Поэтому
Если мы возьмём точки 
и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке 7 мы видим множество треугольников, у которых общая одна сторона (СВ) и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, их объединяет то, что радиус описанной окружности у них одинаковый.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Следствие 2 из теоремы о вписанном угле:
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые.
Рис. 8. Иллюстрация к теореме
ВС – диаметр описанной окружности, следовательно 
(рис. 8).
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле:
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180.
В этом следствии утверждается, что
Угол А=α опирается на дугу DCB (рис. 9). Поэтому 
(по теореме о вписанном угле). Угол 
опирается на дугу DAB. Поэтому 
. Но так как 2α и 2γ – это вся окружность, то
Следовательно
Рис. 9. Иллюстрация к теореме
Поэтому
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Следствие 4 из теоремы звучит так:
Синусы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны.
(рис. 9)
Так как , то
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач.
Задача с применением теоремы синусов и следствии из неё
Дано: В треугольнике АВС: 
(рис.10)
Найти: 1. АС; 2. R – радиус описанной окружности
Решение.
1. Найдём АС.
В треугольнике нам известны два угла, поэтому находим третий, исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180:
Для нахождения АС воспользуемся теоремой синусов:
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
АС=
АС
см
2. Находим радиус описанной окружности.
Нам поможет следствие из теоремы синусов:
6 см
Подведение итогов урока
На данном уроке мы рассмотрели и доказали теорему синусов и следствие из неё, а так же решили задачу по этой теме.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45, а противолежащий основанию угол равен 60. Найдите сторону, противолежащую углу в 45.
2. В треугольнике АВС 
, 
, 
. Найти АС .
3.
В 12.00 часов нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В 12.00 часов инспектор ГАИ помчался по просёлку со скоростью 70 км/ч наперерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у перекрёстка шоссе и просёлка?
