Математика

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

 

Вспомним теорему Пифагора (рис. 1).

 

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

 

К данному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

 

 

Но так как

 ,

то

 

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но оказывается, что аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника, это покажет нам теорема косинусов. Она звучит так:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Чтобы записать формулой данную теорему, принимаем стандартные значения.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

 (рис. 2)

В доказательстве теоремы используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу.

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

 

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

В доказательстве теоремы косинусов BC – это сторона треугольника АВС, обозначенная а (рис. 4). Вводим удобную систему координат и находим координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с;0). А координаты точки С – (b, при

 – основное тригонометрическое тождество.

 

Что и требовалось доказать.

 

Формулировка теоремы для каждой из сторон заданного треугольника

 

 

Эта теорема справедлива для всех сторон треугольника (рис. 5), то есть:

 

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

 

 

 

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, то есть используется для произвольного треугольника.

 

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

 

 

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

 

 

 

 

Аналогично:

 

 

 

Определение угла с помощью косинуса

 

 

Теперь найдём углы.

 

Вспомним, что косинус угла из промежутка  однозначно определяет угол (в отличие от синуса).

    

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Поясним это. Дана единичная полуокружность (рис. 6). Если нам задан , то нам задана точка на верхней полуокружносте и задан угол α. Следовательно,  однозначно определяет точку М(), и однозначно определяется угол .

 

Рассмотрение пределов изменения

 

 

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α, если α – угол треугольника, то есть он лежит в пределах от 0.

 

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Предел изменения косинуса (рис. 7):

 

Предел изменения синуса (рис. 7):

 

Если , то

Если  

Если

Теорема косинусов активно используется при решении задач, вот одна из них.

 

Задача 1 с применением теоремы косинусов

 

 

 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Дано: Треугольник АВС. , АВ = 9, ВС = 3, ,  где М- точка на гипотенузе  АВ (рис. 8).

Найти: СМ

Решение:

Так как АМ+МВ = 9, а  , то АМ = 3, МВ = 6.

Из треугольника АВС найдём :

 

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

 

 

 

 

Задача 2 с применением теоремы косинусов

 

 

Дано: треугольник АВС, со сторонами – 5, 8, 10 (рис. 9).

 

Найти: остроугольный ли треугольник.

Решение:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче       

В треугольнике АВС наибольшая сторона ВС. Напротив наибольшей стороны находится наибольший угол, то есть следует сначала оценить его. .

По теореме косинусов:

 

 

Косинус угла α меньше 0, следовательно,  тупой, поэтому данный треугольник АВС не остроугольный.

 

 

Задача 3 на доказательство с помощью теоремы косинусов

 

 

Дано: треугольник АВС,  (рис. 10)

 

Доказать:тупой.

Доказательство:

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Для доказательства достаточно написать теорему косинусов для угла :

 

Так как , то , следовательно, тупой. Что и требовалось доказать.

Данная задача показывает, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый. Рисунки 10,11 и 12 иллюстрируют это.

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Если  , то  (рис. 11)

 

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

Если  , то  острый (рис. 12).

 

Подведение итогов урока

 

 

На данном уроке мы рассмотрели и доказали теорему косинусов и решили задачи с её применением.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Profmeter.com.ua (Источник).
2. Webmath.ru (Источник).
3. Treugolniki.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. В треугольнике  ,  и . Найти угол, противолежащий стороне AB.
2. Задан треугольник , длины сторон которого , , . Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.
3. В произвольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане АD, причем ВЕ = AD = 4. Найти стороны треугольника АВС.