Математика

Суть типовых задач для решения треугольника

 

Вспомним, что каждый треугольник имеет 6 основных элементов (3 стороны и 3 угла). Любая тройка этих элементов полностью задаёт треугольник, если она включает хотя бы один линейный элемент. Суть типовых задач заключается в том, что задана тройка элементов, нужно найти остальные элементы. Используются теоремы синусов и косинусов.

 

 

Задача 1 с использованием теоремы косинусов

 

 

Дано: треугольник АВС, АВ = с = 3м, АС = b = 6м, (рис. 1)

 

Найти: а = ВС, β, γ

Решение:

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Треугольник задан двумя сторонами и углом между ними, следовательно, он задан полностью. Можем найти его любой элемент.

По теореме косинусов найдём сторону a:

 

 

 м

По теореме косинусов находим угол β:

 

 

Следовательно, . Выяснили, что треугольник прямоугольный. Угол  прямой, угол , поэтому .

Ответ:а =  м, , .

 

 

Задача 2 с использованием теоремы синусов

 

 

Дано: треугольник АВС, , , AB = c = 14 (рис. 2)

 

Найти: , СВ = а, АС = b

Решение:

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Найдём угол γ:

 

 

По теореме синусов:

 

Найдём сторону b:

 

 

Аналогично находим сторону а, при этом учтём, что .

  

 

Ответ: γ = 80,  а =  , b =

Найдены точные значения, если нужно найти приближённые значения, то по таблицам находим и , и синусы углов. Можно упростить выражение для b, зная, что .

 

 

 

Задача 3 с использованием теоремы косинусов

 

 

Дано: треугольник АВС, a = 15, b = 18, c = 25 (рис. 3)

 

Найти: углы α, β, γ (приближённо)

Решение:

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Углы α и β найдём по теореме косинусов.

 

 

 

 

 

 

Найдём угол γ.

 

 

Ответ: , ,

Вычислительные задачи по теме урока

В следующей задаче треугольник является частью прямоугольника, то есть для решения используются свойства и прямоугольника, и треугольника.

Задача 4

Дано: прямоугольник ABCD, ,  (рис. 4)

Найти: площадь прямоугольника ABCD ()

Решение:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, . Диагонали прямоугольника рассекают его на 4 равновеликих треугольника:

 

Докажем это.

 , так как треугольники AOB и COD равны.

 , так как треугольники AOD и BOC равны.

Если , тогда

 

 

Учтём, что

 

 

Следовательно, .

Аналогично докажем, что

 

 

Следовательно,

Получили, что , следовательно, . Найдя площадь треугольника АОВ, найдём площадь прямоугольника.

 

 

Следовательно

 

 

Ответ:  

Задача 5

Дано: треугольник АВС, , ,  (рис. 5)

Найти:  (точно или приближённо)

Решение:

Мы знаем в треугольнике два угла, поэтому находим третий:

 

 

По теореме о смежных углах

 

Из треугольника ADC:

 

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

 

Следовательно

 

 

Углы все найдены. Угол  тупой, поэтому основание D высоты находится на луче СВ за точкой В. Объясним этот факт.

Предположим обратное:

Точка D лежит на луче ВС (является внутренней точкой стороны ВС).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим треугольник ADB (рис.6). В нём, один угол прямой, следовательно, , такой треугольник не существует. Следовательно, точка D не может быть точкой луча CB.

На рисунке 5 видим 2 прямоугольных треугольника ADB и ADC. Катет у них один AD = 3, углы все известны.

Из треугольника ADC найдём гипотенузу b. Знаем, что катет, лежащий напротив угла 30, равен половине гипотенузы. Следовательно, .

Из треугольника ADB найдём гипотенузу АВ = с.

 

 

Найдём СВ = а по теореме синусов

 

 

 

 

Ответ: ВС = , АС = 6, АВ =

 

Подведение итогов урока

 

 

На данном уроке мы рассмотрели типовые задачи по теме «Решение треугольников».

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).
2. Clck.ru (Источник).
3. E-science.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Стороны треугольника – 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
2. У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
3. Найдите медианы треугольника в задаче 1.
4. Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступной точки, зная расстояние АС и углы  и .