Математика

Рассмотрение причины двух решений в задачах ( на решение треугольников)

 

Рассмотрим задачу, в которой заданы две стороны треугольника и угол не между ними, в этом случае число решений зависит от конкретных числовых данных.

 

Число решений может быть два:

предположим, что . В треугольнике может быть угол  или  (рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

 

Задача 1 (решение треугольника для первого случая)

 

 

Дано: треугольник ABC, a = 6, b =8,  (рис. 2)

 

Найти: углы , γ; сторону с

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов

 

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

 

Видим, что , следовательно, угол β существует и существует два угла.

Рисунок 3 иллюстрирует наличие двух углов β.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

 

 

    

Треугольник ABC (рис. 2) имеет определённый радиус описанной окружности.

По теореме синусов:

 

 

 

Рассмотрим два случая:

1.  (рис. 4) 

Тогда угол :

 

 

Следовательно, ,

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Далее используем теорему синусов:

 

 

 

Для первого случая треугольник решён.

Ответ: β , ,

 

Задача 1 (решение треугольника для второго случая)

 

 

 (рис. 2)

 

Тогда угол :

 

 

Следовательно, ,

 

 

 

Ответ: , ,

 

Геометрическая иллюстрация решения задачи 1

 

 

Задача решена, получены два ответа. Дадим геометрическую интерпретацию ответа.

 

1. В окружности радиусом R = 6 проведём хорду a = 6, получим две точки B и C, которые являются вершинами искомого треугольника (рис. 5). Этот треугольник вписан в окружность с центром в точке O.

2. Проведём окружность с центром в точке C и радиусом b = 8.

3. Радиус второй окружности – 8, он меньше, чем удвоенный радиус первой окружности. Значит, существуют две точки пересечения ( этих окружностей.

4. Вписанные в окружность углы с вершинами  одинаковые. . , так как треугольник BOC правильный ().

5. Получили два треугольника . Это и есть искомые треугольники. В них: , ,  – все заданные значения.

6. В треугольниках найдены точные значения искомых величин:

- треугольник : , , ;

- треугольник , , .

            Рис. 5. Иллюстрация к задаче

 

Четвёртый признак  равенства треугольников и его частный случай

 

 

Четвёртый признак  равенства треугольников и его частный случай

 

Также можно сделать замечание: угол α = 30 явно не наибольший угол в заданном треугольнике ABC, а из четвёртого признака равенства треугольников знаем, что треугольники равны по двум сторонам и наибольшему углу (этот наибольший угол может находиться не между двумя сторонами). Отсюда частный случай четвёртого признака равенства треугольников: равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе (прямой угол наибольший, он не лежит между катетом и гипотенузой).

[00:17:09 Разветвление: опорные факты из задачи 1]

Из задачи 1 можно выделить важные опорные факты.

1. Теорема о вписанном угле имеет важное следствие:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Рис. 6. Иллюстрация к следствию

 (рис. 6)

Это означает, что из любой точки дуги  отрезок BC = а виден под одним и тем же углом (α). Существуют также другие точки, с которых данный отрезок виден под этим же углом. Это точки на дуге . Таким образом, объединение этих двух дуг (исключая концы отрезка BC) даёт геометрическое место всех точек, с которых данный отрезок виден под данным углом.

2. Отрезок BC = a и противолежащий угол  задают семейство треугольников (). Эти треугольники часто не похожи друг на друга, но они имеют один и тот же элемент – радиус описанной окружности .

3. Также у семейства этих треугольников есть ещё один общий элемент – отрезок  (рис. 7), где точка  – основание высот, опущенных из вершины B и вершины C. Для того чтобы в этом убедиться, попробуйте решить самостоятельно задачу:

Задан остроугольный треугольник ABC (рис. 7). В нём сторона BC = a, ,  – высоты. Найти длину отрезка . (Указание: докажите подобие треугольников и ).

4. Укажем ещё несколько общих элементов для семейства треугольников :

- AH, где H – ортоцентр (рис. 7);

-  – радиус окружности, описанной вокруг треугольника  (рис. 8);

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

 – радиус окружности, описанной вокруг треугольника  (рис. 8);

 – радиус окружности, описанной вокруг треугольника , где J – точка пересечения биссектрис треугольника  ABC(рис. 8.1);

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

     

Рис. 8.1. Иллюстрация к задаче

Данные опорные факты важны тем, что позволяют находить общие элементы у семейства треугольников, то есть решать более сложные задачи.

 

Завершение урока

 

 

На данном уроке мы решили более сложную задачу по теме «Решение треугольников» с использованием основных теорем синусов и косинусов и теоремы о площади треугольника.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков: А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия 7–9 кл. Учебник для общеобразовательных организаций – 2 – е изд. – М.: Просвещение, 2014.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Link.ac (Источник).
2. Clck.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Учебник Погорелова А. В. (см. список рекомендованной литературы), стр. 179, задачи № 28, 29.
2. Учебник Антанасяна Л. С. (см. список рекомендованной литературы), стр. 262, задача 1025.