Математика

Задача 1, определение высоты дерева с помощью дополнительного предмета

 

Рассмотрим задачу, которая позволит нам понять, откуда появилась необходимость таких терминов, как синус, косинус, тангенс, котангенс угла.

 

Задача 1

Найти высоту дерева, не залезая на него, и найти расстояние от наблюдателя до вершины дерева (рис. 1).

                                                          

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Наблюдатель может измерить расстояние до дерева (), измерить угол () и, не зная понятия синуса, косинуса, тангенса, может поставить искусственное дерево, высота которого известна. То есть имеем 2 подобных треугольника  и  (рис. 2).

Дано:, , , ,  (рис. 2)

Найти: ,

Решение:

Так как  треугольники  и  подобные, то:

1.             

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

 

Отношение  зависит только от угла, его назвали тангенсом угла.

 

То есть величину x можно найти с помощью подобия и с помощью тригонометрии. Тригонометрический способ предпочтительнее, так как при измерении углов и тригонометрических функций точность, как правило, выше.

2.

 

Отношение  назвали косинусом угла

 

Ответ: ,   

В данной задаче мы ввели понятие тангенса и косинуса. Введём также понятия синуса:

, угол α – угол прямоугольного треугольника, следовательно,.

 

Повторение основных тригонометрических функций прямоугольного треугольника

 

 

Теперь для решения задачи нам не нужен вспомогательный элемент , а нужен угол и его функция. То есть функции угла важны для измерительных работ. Повторим эти функции.

 

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Рис. 3. Иллюстрация функций

      ( рис. 3)

Отсюда следует, что

 

То есть катет можно найти через гипотенузу. Так же катет можно найти через другой катет. Для этого вспомним определение тангенса и котангенса угла.

Тангенсом угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему.

Котангенсом угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.

        (рис. 3)

 

Повторение теоремы косинусов и теоремы синусов

 

 

Отсюда следует, что

 

 

Для прямоугольного треугольника мы повторили основные определения и правила. Вспомним основные сведения, которые используются в измерительных работах, для произвольных треугольников.

Рис. 4. Треугольник

Теорема синусов:

, где R – радиус описанной окружности (рис. 4)

Теорема косинусов:

 

 

 

Задача 2, определение высоты предмета

 

 

Измерить высоту дерева и расстояние до его вершины, если точка С (рис. 5) недоступна.

 

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Мы можем измерить , угол  и угол .

Дано: ,, ,  (рис. 5)

Найти: ,

Решение:

Решение следует из произвольного треугольника ABD и прямоугольного треугольника ABC.

Из треугольника ABD:

Угол  найдём по теореме о внешнем угле (внешний угол равен сумме двух других не смежных с ним углов):

 

С помощью теоремы синусов получаем:

 

 

Из  прямоугольного треугольника ABC с помощью теоремы синусов получаем:

 

 

Ответ: ,  

 

Задача 3, определение расстояния до недоступной точки

 

 

Найти расстояние ACот пункта Aдо недоступного пункта C (рис. 6).

 

                       

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Решение:

Выбираем удобную точку B на местности, замеряем длину AB = c, , . Получаем треугольник ABC(рис. 7), в котором известна сторона и два прилежащих угла. В этом треугольнике можно найти любой элемент.

Найдём ACс помощью теоремы синусов:

 

Так как

,

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

то

 

Ответ:  

 

Задача 4, определение высоты башни с помощью тангенса известных углов

 

 

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой он хочет определить. Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину под углом 45°. Какова высота башни?

 

           

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

На рисунке 8 к задаче видим, что ABрост наблюдателя, DC = x – искомая высота башни, BH = AC = 50 (по условию задачи расстояние от наблюдателя до башни), , .

Решение:

Для решения рассмотрим два прямоугольных треугольника:

1. Треугольник CBH. В нём , катет BH = 50 м, следовательно, второй катет:

 

 

2. Треугольник BDH. В нём , следовательно, угол , поэтому треугольник равнобедренный. DH = BH = 50 м. 

 

 м

Ответ: высота башни  м

 

Подведение итогов урока

 

 

Вывод

 

На данном уроке мы рассмотрели измерительные работы на местности. Убедились, что они сводятся к нахождению элементов треугольника.

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков: А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия 7–9 кл. Учебник для общеобразовательных  организаций – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Link.ac (Источник).
2. Link.ac (Источник).

 

Домашнее задание

1. На горе находится башня, высота которой равна 100 м. Некоторый предмет A у подножья горы наблюдают сначала с вершины B башни под углом 60° к горизонту, а потом с её Cоснования под углом 30°. Найдите высоту h горы (рис. 9).
2. Для определения ширины реки отметили два пункта A и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы CABи ABC, где C – дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что , . Найдите ширину реки (рис. 10).

Рис. 9

Рис. 10