Математика

Построение прямой

 

Мы знаем общий вид уравнения прямой:

 

Что это нам дает? Если мы видим уравнение: , то понимаем, что это уравнение задает именно прямую, а не какую-то другую линию.

Более того, нам совсем не сложно построить эту прямую. Для этого необходимо найти координаты двух любых точек, которые принадлежат этой прямой, а принадлежат этой прямой те точки, чьи координаты являются решением данного уравнения.

 

Пример. Построить прямую

Решение.

Например, возьмем , тогда:

Откуда получаем:

Т. е. точка  принадлежит прямой (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Найдем вторую точку. Возьмем , тогда:

Откуда получаем:

Т. е. точка  принадлежит прямой (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Отмечаем две эти точки на координатной плоскости и проводим прямую (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

 

Нахождение уравнения прямой

 

 

Но существует и обратная задача. Нужно выписать уравнение прямой по имеющейся о ней информации. Самый простой вариант – известны координаты двух точек, через которые она проходит.

 

 

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Решение

Мы можем эту прямую начертить (см. рис. 4), но нам нужно решить другую задачу – найти ее уравнение.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Самый простой способ найти уравнение прямой – подставить координаты точек в уравнение прямой и найти неизвестные коэффициенты.

Получим систему уравнений:

Получается два уравнения с тремя неизвестными. Выразим две переменные через третью:

Получаем уравнение прямой:

Мы можем сократить обе части этого уравнения на  и умножить на :

Несложно убедиться, что координаты точек  и  удовлетворяют этому уравнению.

Ответ: .

 

Нахождение уравнения прямой при помощи векторов

 

 

Но получить таким образом уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, в общем виде довольно сложно. Попробуем сделать это другим способом.

 

Отметим на прямой точку  с неизвестными нам координатами  (см. рис. 5).

Рис. 5. Отмеченная на прямой произвольная точка  с координатами

Если мы придумаем какое-то свойство, которое однозначно отделит все точки  (лежащие на нашей прямой) от остальных точек (не лежащих на прямой), то сможем получить уравнение прямой.

Очевидно, что если  лежит на прямой, то векторы  и  коллинеарны. Наоборот, если точка  не лежит на прямой, то эти векторы неколлинеарны. Вот мы и нашли необходимый и достаточный признак того, что точка лежит на прямой, – коллинеарность векторов  и .

Вспомним, что векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

Получаем:

Условие коллинеарности приобретает следующий вид:

Это уравнение и задает нашу прямую. На первый взгляд, не очень похоже на то, что мы получили ранее:

Умножим обе части полученного уравнения на , перенесем все в одну сторону, получим:

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

 

 

Обобщим полученный результат: запишем уравнение прямой , проходящей через две точки  и  (см. рис. 6).

 

Рис. 6. Прямая , проходящая через точки  и

Выбираем произвольную точку прямой . Находим координаты векторов  и  (см. рис. 7):

Рис. 7. Векторы  и

Тот факт, что точка  принадлежит прямой, эквивалентен тому, что эти два вектора коллинеарны, что означает, в свою очередь, пропорциональность их координат:

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Его можно преобразовать в стандартный вид. Но выглядеть оно станет сложнее, поэтому обычно общий вид оставляют таким. А если у нас есть конкретные координаты точек  и , то от этого вида имеет смысл переходить к стандартному виду уравнения.

---

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору

Попутно мы получили еще одно уравнение прямой. Действительно, пусть мы не знаем координаты второй точки, которая лежит на прямой. Но знаем, что прямая параллельна вектору  (см. рис. 8).

Рис. 8. Прямая , проходящая через точку , параллельна вектору

Можно использовать ту же схему – возьмем произвольную точку , принадлежащую прямой (см. рис. 9).

Рис. 9. Отмеченная на прямой  произвольная точка

Точка  принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны. Получаем:

Это и есть уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.

---

 

Ноль в знаменателе в уравнении прямой, проходящей через две заданные точки

 

 

Бывают ситуации, когда мы не можем воспользоваться полученной формулой.

 

 

Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

Если мы попытаемся подставить в нашу формулу координаты точек  и , то получим в одном из знаменателей ноль:

Мы получили в знаменателе ноль. Что же делать?

Можно просто не использовать формулу, а заметить, что прямая проходит через две точки с ординатами . Т. е. прямая параллельна оси , и ее уравнение будет иметь вид (см. рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2

А можно переписать уравнение в другом виде по принципу пропорции:

Откуда получается то же самое уравнение:

Ответ: .

Составим уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Теперь у этих точек одинаковая координата х, точки расположены одна над другой. И прямая, которая через них проходит, вертикальная. У всех точек будет одинаковая абсцисса: . Уравнение прямой (см. рис. 11):

Рис. 11. График прямой

 

Перпендикулярные векторы

 

 

Мы использовали эквивалентное определение коллинеарности векторов – пропорциональность их координат:

 

Т. е. по координатам векторов можно легко определить, коллинеарны они или нет.

А можно ли так же легко по координатам векторов понять, перпендикулярны ли они?

Да, если использовать тот факт, что скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны друг другу (см. рис. 12):

Рис. 12. Перпендикулярные векторы

 

Задача 3. Доказать, что четырехугольник , вершины которого имеют координаты

 является квадратом.

Доказательство

Изобразим точки на координатной плоскости (см. рис. 13). В самом деле, похоже, что это квадрат.

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

Чтобы доказать, что четырехугольник – квадрат, есть разные способы. Можно воспользоваться определением и показать, что все стороны равны и все углы прямые.

Можно воспользоваться свойствами диагоналей. Т. к. квадрат – это ромб и прямоугольник, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, равны друг другу и перпендикулярны.

Пойдем по первому пути. Покажем равенство длин и перпендикулярность соседних векторов, заданных сторонами четырехугольника.

Для начала посчитаем координаты этих четырех векторов:

Векторы  и  имеют одинаковые координаты. Значит, они равны. А это означает, что они параллельны и их длины равны друг другу. Это уже означает, что наш четырехугольник  – параллелограмм.

Мы видим, что и у второй пары векторов  и  совпадают координаты, векторы равны.

Чтобы показать, что параллелограмм является квадратом, нужно доказать равенство одной пары соседних сторон (получится ромб) и показать, что один угол прямой, тогда все остальные тоже будут прямыми.

Посчитаем длину вектора :

Посчитаем длину вектора :

Итак, соседние стороны равны: , значит, все стороны равны и четырехугольник  – ромб.

Осталось доказать перпендикулярность пары векторов. Возьмем те же векторы  и . Найдем их скалярное произведение – для этого умножаем попарно их координаты и результаты складываем:

Т. к. оба вектора ненулевые, то равенство нулю их скалярного произведения означает только одно: они перпендикулярны:

Ромб с прямым углом – это квадрат.

Доказано.

 

Нахождение угла между векторами

 

 

Итак, мы умеем определять, параллельны ли векторы, перпендикулярны ли они. А как найти угол между векторами? Вспомним, что в формуле для скалярного произведения фигурирует косинус угла между векторами. Попробуем этим воспользоваться:

 

Откуда:

Теперь алгоритм нахождения косинуса угла между векторами ясен: нужно вычислить скалярное произведение векторов и их длины. При этом обратите внимание, что знак скалярного произведения определяет вид угла: если скалярное произведение положительно, то угол острый; если отрицательно, то угол – тупой (см. рис. 14).

Рис. 14. Если скалярное произведение положительно, то угол острый; если отрицательно, то угол тупой

Можно, конечно, получить формулу для косинуса в координатах, но помнить ее не обязательно:

При необходимости, если вы помните, как вычислять скалярное произведение и длину вектора, вы всегда сможете ее вывести.

 

Задача 4. Найти угол между векторами .

Решение.

Найдем скалярное произведение векторов:

Найдем длины векторов:

Тогда косинус угла:

А сам угол:

Ответ: .

 

Нормальный вектор

 

 

Рассмотрим еще одну задачу, связанную с уравнением прямой и углами между векторами.

 

 

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно  вектору  (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 5

Решение.

Используем уже известный нам алгоритм. Выберем произвольную точку  на прямой. Условие ее принадлежности прямой:

Или, как мы знаем, эквивалентное условие:

Запишем это условие в координатах:

Раскроем скобки и получим:

Ответ: .

Заметили, что координаты перпендикулярного вектора  (он еще называется нормальным вектором или вектором нормали) стали коэффициентами в уравнении прямой при  и ? Это неслучайное совпадение.

В общем виде ситуация такова: уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  имеет вид:

Если раскрыть скобки, то координаты нормального вектора становятся коэффициентами при  и  в общем уравнении прямой.

Это можно использовать и в обратную сторону: для прямой, заданной своим общим уравнением, легко найти нормальный вектор. Например, прямая  имеет нормальный вектор с координатами:

 

Связь координат нормального вектора с уравнением прямой

 

 

Понятие нормального вектора и связь его координат с уравнением прямой приводит к очень простому, но важному следствию.

 

 

Задача 6. Доказать параллельность прямых (см. рис. 16):

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 6

Доказательство.

Коэффициенты при  и  в уравнениях задают нормальные векторы к этим прямым  и  (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 6

Но координаты этих векторов пропорциональны:

Следовательно, нормальные векторы параллельны. Но тогда перпендикулярные им прямые тоже параллельны друг другу:

Итак, параллельность прямых однозначно определяется пропорциональностью коэффициентов при  и . Свободный коэффициент  на это никак не влияет.

Доказано.

 

Скалярное произведение векторов

 

 

Рассмотрим еще несколько задач, связанных со скалярным произведением векторов.

 

 

Задача 7. Вычислить  и , если , , .

Решение.

Если нарисовать рисунок (см. рис. 18) то становится понятно, что нас просят найти длины диагоналей параллелограмма, стороны которого равны  и , а острый угол равен . Это можно сделать с помощью, например, теоремы косинусов (можете проверить самостоятельно, что получится тот же самый результат).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 7

Но мы рассмотрим стандартный и универсальный алгебраический метод решения задач такого типа. А именно с использованием того факта, что:

Получим:

Но правую часть мы можем вычислить, т. к. она равна:

Получаем, что:

Значит:

Несложно получить, что:

Откуда:

Ответ: .

 

Задача 8. При каком значении  векторы  и  перпендикулярны, если , , ?

Решение.

Опять же ничего нового здесь нет. Мы знаем эквивалентное условие перпендикулярности векторов:

Или:

Откуда получаем, что:

Ответ: .

 

Решение геометрической задачи с использованием векторов и скалярного произведения

 

 

Рассмотрим обычную, на первый взгляд, геометрическую задачу, которую можно решить с использованием векторов и скалярного произведения.

 

 

Задача 9. Найти угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение

Рассмотрим равнобедренный треугольник , у которого ,  и  – медианы к боковым сторонам (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 9

Введем обозначения:

Тогда:

Мы выразили через базисные векторы те векторы, о которых знаем важный факт: они перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно :

Раскрываем скобки:

Тогда:

Ответ: .

 

Заключение

Такие инструменты, как векторы, координаты, действия с векторами, позволяют решать как новые задачи, так и прежние геометрические, но новыми методами – методами алгебры.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)
2. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
3. Интернет-портал mathprofi.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Доказать, что четырехугольник  является параллелограммом, если .

2. Найти угол между векторами  и .

3. С помощью скалярного произведения доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.