Математика

Тема 30.

Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Введем прямоугольную систему координат Oxy и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Назовем ее единичной полуокружностью. Из точки O проведем луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке M(x;y).

Обозначим буквой α угол между лучом hи положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что α = 0°).

Если угол α острый, то из прямоугольного ∆DOM:

имеем $\mathit{sin}\alpha =\frac{\mathit{MD}}{\mathit{OM}}$ , $\mathit{cos}\alpha =\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OM}}.\mathrm{}$ Но OM = 1, MD = x, OD = y, поэтому sin α = y, cos α = x.

Итак, синус острого угла α равен ординате у точки М, а косинус угла α - абсцисса x точки M. Если угол α прямой, тупой или развернутый или α = 0°, то синус и косинус угла α также определим по этим формулам.

Таким образом, для любого угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° синусом угла α называется ордината y точки М, а косинусом угла α - абсцисса x точки М. Так как координаты (x; y) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ y ≤ 1, -1 ≤ x ≤ 1, то для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° справедливы неравенства 0 ≤ sin α ≤ 1, -1 ≤ cos α ≤ 1.

Найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90°, 180°. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам. Так как точки А, С и В имеют координаты А(1; 0), С(0; 1), В(-1; 0), то

sin 0° = 0, sin 90° = 0, sin 180° = 0

cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = -1.

Тангенсом угла α(α ≠ 90°) называется отношение $\frac{\mathit{sin}\mathbf{\alpha }}{\mathit{cos}\mathbf{\alpha }}$, т.е. $\mathit{tg}\mathit{\alpha }\mathit{}\mathit{=}\mathit{}\frac{\mathit{sin}\mathit{\alpha }}{\mathit{cos}\mathit{\alpha }}$

При α = 90° tg α не определен, поскольку cos 90° = 0, и знаменатель обращается в ноль.

tg 90° = 0, tg 180° = 0.

Котангенсом угла α(α ≠ 0°,α ≠ 180°) называется отношение $\frac{\mathbf{cos}\mathit{\alpha }}{\mathbf{sin}\mathit{\alpha }}$, т.е. $\mathit{}\mathit{c}\mathit{tg}\mathit{\alpha }\mathit{=}\mathit{}\frac{\mathbf{cos}\mathit{\alpha }}{\mathbf{sin}\mathit{\alpha }}\mathrm{}\mathrm{}$

При α = 0° и α = 180° сtg α не определен, поскольку

sin⁡ 0° = 0 sin⁡ 180° = 0

ctg 90° = 0

Вернемся к нашей единичной полуокружности АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид x² + y² = 1. Подставив сюда выражения для х и у получим равенство sin^2⁡α + cos^2⁡α = 1, которое выполняется для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Справедливы также следующие тождества:

sin⁡ 90° - α = cos⁡ α, cos⁡ 90° - α = sin⁡ α при 0° ≤ α ≤90°

sin⁡ 180° - α = sin⁡ α, cos⁡ 180° - α = - cos⁡ α при 0° ≤ a ≤ 180°.

Они называются формулами приведения.

Рассмотрим примеры:

1. Найти cos⁡ α если $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

   sin²α + cos²α = 1

   ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\mathit{cos}}^2\alpha =1$

   $\frac{3}{4}+{\mathit{cos}}^2\alpha =1$

   ${\mathit{cos}}^2\alpha =1-\frac{3}{4}$

   ${\mathit{cos}}^2\alpha =\frac{1}{4}$

   $\mathit{cos\alpha }=\pm \frac{1}{2}$

   Ответ: $\pm \frac{1}{2}$

2. Найти sin⁡ 120°, cos⁡ 120°, tg 120°

   $\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

   $\cos 120°=\cos \left(180°-60°\right)=-\cos 60°=-\frac{1}{2}$

   $\mathit{tg}120°=\frac{\sin 120°}{\cos 120°}=\frac{\sqrt{3}}{2}÷\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3}$