Математика

Тема 31.

Терема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ=c, ВС=a, СА=b

S - площадь треугольника.

Докажем, что $S=\frac{1}{2}\mathit{ab}\mathit{sin}C$

Введем систему координат с началом в точке $C$ так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Cx, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{1}{2}\mathit{ah}$, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, то есть h = b sin⁡ C. Следовательно, $S=\frac{1}{2}\mathit{ab}\mathit{sin}C$

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ = c, ВС = a, СА = b

Докажем, что

$\frac{a}{\mathit{sin}A}=\frac{b}{\mathit{sin}B}=\frac{c}{\mathit{sin}C}$

По теореме о площади треугольника

$S=\frac{1}{2}\mathit{ab}\mathit{sin}C,$$S=\frac{1}{2}\mathit{bc}\mathit{sin}A$, $\mathit{S}=\frac{1}{2}\mathit{ac}\mathit{sin}B$

Из первых двух равенств получим

$\frac{1}{2}\mathit{ab}\mathit{sin}C$ = $\frac{1}{2}\mathit{bc}\mathit{sin}A$, откуда

$\frac{a}{\mathit{sin}A}=\frac{c}{\mathit{sin}C}$

Аналогично, $\frac{a}{\mathit{sinA}}=\frac{b}{\mathit{sin}B}$

Итак, $\frac{a}{\mathit{sin}A}=\frac{b}{\mathit{sin}B}=\frac{c}{\mathit{sin}C}$

Заметим, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, СА = bимеют место равенства

$\frac{a}{\mathit{sin}A}=\frac{b}{\mathit{sin}B}=\frac{c}{\mathit{sin}C}=2R$

где R — радиус описанной окружности.

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ = c, ВС = a, СА = b

Докажем, например, что

a² = b² + c² - 2bc cos⁡ A

Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (c;0), а точка С имеет координаты b cos⁡ A; b sin⁡ A. По формуле расстояния между двумя точками, получим:

${\mathit{BC}}^{\mathit{2}}\mathit{=}{\mathit{a}}^{\mathit{2}}\mathit{=}{\left(b\cos A-c\right)}^2+b^2{\mathit{sin}}^{2}A$

$a^2=b^2{\mathit{cos}}^{2}A+b^2{\mathit{sin}}^{2}A-2\mathit{bc}\cos A+c^2$

$a^2=b^2\left({\mathit{cos}}^{2}A+{\mathit{sin}}^{2}A\right)-2\mathit{bc}\cos A+c^2$

${\mathit{a}}^{\mathit{2}}\mathit{=}{\mathit{b}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{c}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\mathit{2}\mathit{bc}\mathbf{cos}\mathit{A}$

Найти площадь ∆ABC, если BC = 3 см, AB=$18\sqrt{2}$ см, ∠B = 45°.

По теореме о площади треугольника

$S=\frac{1}{2}\mathit{BC}\bullet \mathit{AB}\bullet \sin B$

$\mathrm{}$$S=\frac{1}{2}\bullet 3\bullet 18\sqrt{2}\bullet \sin 45°$

$S=\frac{1}{2}\bullet 3\bullet 18\sqrt{2}\bullet \frac{\sqrt{2}}{2}$

S = 27 см²

Ответ: 27 см²