Математика

Тема 32.

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов в координатах. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается так: $\vec{a}\bullet \vec{b}$ или $\vec{a}\vec{b}$.

По определению

$\vec{a}\bullet \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\bullet \left|\vec{b}\right|\cos \left(\widehat{\vec{a}\vec{b}}\right)$ (1)

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то есть $\widehat{\vec{a}\vec{b}}=90°$, то $\cos \widehat{\left(\vec{a}\vec{b}\right)}=0$, и поэтому $\vec{a}\bullet \vec{b}=0$.

Если $\vec{a}\bullet \vec{b}=0$ и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то из равенства (1) получаем, $\cos \widehat{\left(\vec{a}\vec{b}\right)}=0$, и, следовательно, $\widehat{\vec{a}\vec{b}}=90°$, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ положительно, когда $\widehat{\vec{a}\vec{b}}<90°$ и

отрицательно, когда $\widehat{\vec{a}\vec{b}}>90°$

Если $\vec{\mathit{a}}\mathit{\upuparrows }\vec{\mathit{b}}$, то $\cos \widehat{\left(\vec{a}\vec{b}\right)}=1$, значит $\vec{a}\bullet \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\bullet \left|\vec{b}\right|$

В частности, $\vec{a}\bullet \vec{a}={\left|\vec{a}\right|}^2$. Скалярное произведение $\vec{a}\bullet \vec{a}$ называется скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ и обозначается ${\vec{a}}^2$.

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Теорема: в прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов $\vec{a}\left\{x_1;y_1\right\}$ и $\vec{b}\left\{x_2;y_2\right\}$ выражается формулой $\vec{a}\bullet \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

Следствие 1.

Ненулевые векторы $\vec{a}\left\{x_1;y_1\right\}$ и $\vec{b}\left\{x_2;y_2\right\}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

Следствие 2.

Косинус угла $\alpha$ между ненулевыми векторами $\vec{a}\left\{x_1;y_1\right\}$ и $\vec{b}\left\{x_2;y_2\right\}$ выражается формулой

$\cos \alpha =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$.

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов$\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ и любого числа $k$ справедливы соотношения:

1. ${\vec{a}}^2\ge 0$, причем ${\vec{a}}^2>0$ при $\vec{a}\ne 0$.
2. $\vec{a}\bullet \vec{b}=\vec{b}\bullet \vec{a}$ (переместительный закон)
3. $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\bullet \vec{c}=\vec{a}\bullet \vec{c}+\vec{b}\bullet \vec{c}$ (распределительный закон)
4. $\left(k\vec{a}\right)\bullet \vec{b}=k\left(\vec{a}\bullet \vec{b}\right)$ (сочетательный закон)

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.

Рассмотрим пример:

Вычислить $\vec{a}\bullet \vec{b}$, если $\vec{a}\left\{-5;6\right\}$ и $\vec{b}\left\{6;5\right\}$.

Воспользуемся формулой $\vec{a}\bullet \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$, получим:

$\vec{a}\bullet \vec{b}=-5\bullet 6+6\bullet 5=-30+30=0$

Так как $\vec{a}\bullet \vec{b}=0$, то $\vec{a}\perp \vec{b}$.