Математика

Тема 14.

Функция y=xⁿ , четные и нечетные функции.

Сравним значения функции $f\left(x\right)=\frac{1}{8}{x}^4-x^2$ при двух противоположных значениях аргумента, например x=3 и x=-3:

$f\left(3\right)=\frac{1}{8}{\bullet 3}^4-3^2=\frac{1}{8}\bullet 81-9=1\frac{1}{8}$

$f\left(-3\right)=\frac{1}{8}{\bullet (-3)}^4-(-{3)}^2=\frac{1}{8}\bullet 81-9=1\frac{1}{8}$

Получим $f\left(3\right)=f\left(-3\right)$. Значения этой функции равны и при любых других противоположных значениях аргумента. Действительно,

$f\left(-x\right)=\frac{1}{8}{\bullet (-x)}^4-(-{x)}^2=\frac{1}{8}\bullet x^4-x^2$, то есть

$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$

При этом рассматриваемая функция такова, что для каждого значения аргумента х противоположное ему число (–х) так же принадлежит ее области определения. В таких случаях говорят, что область определения функции симметрична относительно нуля.

Функции, обладающие такими свойствами, называют четными функциями.

Определение: Функция $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

$\mathit{f}\left(\mathit{-}\mathit{x}\right)\mathit{=}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$

График любой четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение: Функция $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

$\mathit{f}\left(\mathit{-}\mathit{x}\right)\mathit{=}\mathit{-}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной.

График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Давай проверим на четность и нечетность функции:

$f\left(x\right)=3x^4-x^2+5$

Для этого подставим в нашу функцию вместо переменной х (-х), получим:

$f\left(-x\right)=3{(-x)}^4-{\left(-x\right)}^2+5=3x^4-x^2+5$

Значит, $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, следовательно, функция является четной.

$f\left(x\right)=x^2+x+1$

$f\left(-x\right)=(-{x)}^2+(-x)+1=x^2-x+1$

Эта функция является ни четной, ни нечетной.

Свойства функции y = xⁿ при четном n аналогичны свойствам функции y = x².

Степенные функции при n=1, 2 и 3, то есть функции y=x, y = x², y = x³ тебе уже знакомы. Их свойства и графики нам известны.

Выясним теперь свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном n.

Рассмотрим случай, когда n – четное число.

Свойства функции y = xⁿ при четном n аналогичны свойствам функции y = x².

1. Выражение xⁿ, где n – натуральное число, имеет смысл при любом x. Поэтому областью определения функции является множество всех действительных чисел.
2. Область значений функции есть множество неотрицательных чисел.
3. Если х=0, то у=0. График функции проходит через начало координат.
4. Если Если x ≠ 0, то y > 0. Это следует из того, что четная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
5. Функция является четной, график функции симметричен относительно оси ординат.
6. Функция возрастает в промежутке $\left[0;+\infty )\right.$ и убывает в промежутке $(-\infty ;\left.0\right]$.

Рассмотрим теперь случай, когда n – нечетное число.

Свойства функции y = xⁿ при нечетном n аналогичны свойствам функции y = x³.

По графику этой функции перечислим ее свойства.

1. Выражение xⁿ, где n – натуральное число, имеет смысл при любом x. Поэтому областью определения функции является множество всех действительных чисел.
2. Область значений функции есть множество всех действительных чисел.
3. Если х=0, то у=0. График функции проходит через начало координат.
4. Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0 График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях
5. Функция является нечетной. График функции симметричен относительно начала координат.
6. Функция возрастает на всей области определения.