Математика

Тема 15.

Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени.

Давай вспомним, что квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.

Итак, корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Например, корнем пятой степени из 32 является число 2, так как 2⁵=32, корнем четвертой степени из 81 является каждое из чисел 3 и -3, так и 3⁴=81 и (-3)⁴=81. Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем.

Если n - нечетное число, то выражение $\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}$ имеет смысл при любом a; если n - четное число, то выражение $\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}$ имеет смысл при $\mathit{a}\mathit{\ge }\mathit{0}$.

Из определения корня n-ой степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение $\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}$имеет смысл, верно равенство${\left(\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{=}\mathit{a}$.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. Например,

$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2$

Значит, при любом положительном a и нечетном n верно равенство:

$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$

Решим уравнение: x⁶ = 7. Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых равна 7. И таких чисел два: $\sqrt[6]{7}$ и $-\sqrt[6]{7}$.

Решим уравнение x³ = 27. Уравнение имеет единственный корень, это число, третья степень которого равна 27, то есть $\sqrt[3]{27}=3$.

Рассмотрим свойства арифметического корня n-ой степени.

1. Если $\mathit{a}\mathit{\ge }\mathit{0}$ и $\mathit{b}\mathit{\ge }\mathit{0}$, то $\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{ab}}\mathit{=}\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{b}}$

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Например, найдем значение выражения $\sqrt[4]{16\bullet 81}=\sqrt[4]{16}\bullet \sqrt[4]{81}=2\bullet 3=6$

2. Если $\mathit{a}\mathit{\ge }\mathit{0}$ и $\mathit{b}\mathit{>}\mathit{0}$, то $\sqrt[\mathit{n}]{\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}}\mathit{=}\frac{\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}}{\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{b}}}$

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Например, найдем значение выражения $\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}=\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$.

3. Если n и k – натуральные числа и $\mathit{a}\mathit{\ge }\mathit{0}$, то $\sqrt[\mathit{n}]{\sqrt[\mathit{k}]{\mathit{a}}}\mathit{=}\sqrt[\mathit{nk}]{\mathit{a}}$
4. Если n,k и m – натуральные числа и $\mathit{a}\mathit{\ge }\mathit{0}$, то $\sqrt[\mathit{nk}]{{\mathit{a}}^{\mathit{mk}}}\mathit{=}\sqrt[\mathit{n}]{{\mathit{a}}^{\mathit{m}}}$

Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислим значение выражения:

$\sqrt[3]{135}\bullet \sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{135\bullet 25}=\sqrt[3]{27\bullet 5\bullet 25}=\sqrt[3]{27\bullet 125}=3\bullet 5=15$

$\sqrt[6]{5^{10}}\sqrt[6]{2^{12}\bullet 5^2}=\sqrt[6]{5^{10}{\bullet 2}^{12}\bullet 5^2}=\sqrt[6]{5^{12}\bullet 2^{12}}=\sqrt[6]{{10}^{12}}$=${10}^2=100$

$\sqrt[3]{8-\sqrt{37}}\bullet \sqrt[3]{8+\sqrt{37}}=\sqrt[3]{\left(8-\sqrt{37}\right)\left(8+\sqrt{37}\right)}=\sqrt[3]{64-37}=\sqrt[3]{27}=3$