Математика

Тема 16.

Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.

Мы знаем, какой смысл имеет выражение aⁿ, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)⁵ означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2^-5 означает число, обратное степени 2⁵. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$.

Например, $\sqrt[7]{5^{21}}=5^{\frac{21}{7}}=5^3=125$,

так как ${\left(5^3\right)}^7=5^{21}$.

Определение: Если a – положительное число, $\frac{m}{n}$ – дробное число (m – целое, n – натуральное), то

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$

Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если $\frac{m}{n}$ – дробное положительное число (m и n – натуральные), то $0^{\frac{m}{n}}=0.$

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как ${\left(-2\right)}^{\frac{3}{4}}$ или ${\left(-8\right)}^{\frac{1}{3}}$ не имеют смысла.

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: $\frac{3}{4};\frac{6}{8};\frac{9}{12}$ и т.д

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,

$2^{\frac{6}{8}}=\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[4]{2^3}=2^{\frac{3}{4}}$.

В общем случае это выглядит так:

пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:

$a^{\frac{\mathit{mk}}{\mathit{nk}}}=\sqrt[\mathit{nk}]{a^{\mathit{mk}}}=\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Свойства степени с рациональным показателем.

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.

Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:

1. $a^p{a}^q=a^{p+q}$
2. $a^p:a^q=a^{p-q}$
3. ${\left(a^p\right)}^q=a^{\mathit{pq}}$

Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального числа p:

4. ${\left(\mathit{ab}\right)}^p=a^p{b}^p$
5. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^p=\frac{a^p}{b^p}$

Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p

$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$

Например,

${\left(27\bullet 64\right)}^{\frac{1}{3}}={27}^{\frac{1}{3}}\bullet {64}^{\frac{1}{3}}=3\bullet 4=12$