Математика

88. Возведение в квадрат и куб суммы и разности двух выражений. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

Мы уже знаем, как умножить многочлен на многочлен. Но для некоторых случаев есть формулы, которые помогут существенно ускорить расчеты. Это формулы сокращенного умножения. Сегодня мы познакомимся с четырьмя из них.

Возведем в квадрат сумму (a+b):

(a+b)² = (a+b)(a+b)

Применим правило умножения многочлена на многочлен:

(a+b)(a+b) = a*a+a*b+b*a+b*b = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

Мы получили формулу:

(a+b)² = a²+2ab+b²

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Аналогично выведем формулу для квадрата разности:

(a-b)² = (a-b)(a-b) = a*a-a*b-b*a+b*b = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Теперь, используя эти формулы, выведем формулы для куба суммы и куба разности двух выражений:

(a+b)³ = (a+b)(a+b)² = (a+b)(a²+2ab+b²) = a*a²+a*2ab+a*b²+b*a²+b*2ab+b*b² = a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³ = a³+3a²b+3ab²+b³

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб третьего выражения.

Это правило не так-то легко запомнить? Достаточно выучить формулу! Правило – это всего лишь ее словесное описание.

Аналогично найдем формулу куба разности:

(a-b)³ = (a-b)(a-b)² = (a-b)(a²-2ab+b²) = a*a²-a*2ab+a*b²-b*a²+b*2ab-b*b² = a³-2a²b+ab²-a²b+2ab²-b³ = a³-3a²b+3ab²-b³

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

Если в формуле для куба суммы все одночлены соединены знаками «+», что понятно – минусу просто неоткуда взяться, то в формуле для куба разности знаки между одночленами чередуются: «-» «+» «-».

Формулы сокращенного умножения используются также при разложении на множители.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 81a²-18ab+b².

Можно ли слагаемое 81а² представить в виде квадрата одночлена? 81 – это квадрат числа 9. Тогда 81а² = 9²а² = (9а)². Причем -18аb = -2*9a*b.

«Свернем» многочлен, используя формулу квадрата суммы:

81a²-18ab+b² = (9а)²-2*9a*b+b² = (9а-b)² = (9а-b)(9а-b).