ОГЭ Математика

Доказательства

 

Два основных типа доказательства:

1. прямое - используется, когда факт, который нужно доказать, напрямую следует из какого-то признака;
2. в доказательстве с переходом факт, который нужно доказать, не следует из теоремы и не может быть доказан с помощью определенного признака.

Задача №1

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB=2∙AD, а на стороне AB отмечена точка N так, что AN=NB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину D с точкой N, делит угол BCD на две равные части.

Решение

Сделаем чертеж и вынесем все данные задачи. N – середина АВ, значит , также известно, что АВ вдвое больше, чем AD, значит $AN=NB=\frac{1}{2}AB$ , также известно, что АВ вдвое больше, чем AD, значит $AD=\frac{1}{2}AB$. Откуда следует, что

$\left.{}_{AD=\frac{1}{2}AB}{}^{AN=\frac{1}{2}AB}\right\}AN=AD$

 

 

Необходимо доказать, что ∠AND = ∠NDC. Построим отрезок NF, соединяющий середины сторон АВ и СD.

 

 

Тогда AN = AD = DF, следовательно, FNBC - ромб. DN – диагональ ромба, диагонали ромба являются биссектрисами его углов, тогда DN – биссектриса, следовательно, ∠AND = ∠NDC, что и требовалось доказать.

Задача №2

В трапеции KLMN на стороне MN отмечена точка H так, что MH=HN. Докажите, что площадь треугольника LHK относится к площади трапеции как 1:2.

Решение

 

 

Нужно доказать, что $S\left(KLH\right)= \frac{1}{2} S\left(KLMN\right)$

Так как DH – средняя линия, то высоты треугольников DLH и DKH, опущенные на DH, равны между собой, а также составляют половину от высоты трапеции. Можно записать площадь треугольника LKH через площади составляющих его треугольников:

$S\left(LHK\right)=S\left(DLH\right)+S\left(DKH\right)= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot DH+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot h\cdot DH$

Одна из формул её площади – это произведение её высоты на среднюю линию (что и получилось в предыдущем пункте), следовательно, $\frac{1}{2}\cdot h\cdot DH= \frac{1}{2}S(KLMN)$ .Откуда можно сделать вывод, что $S\left(KLH\right)= \frac{1}{2} S\left(KLMN\right)$ , что и требовалось доказать.