ЕГЭ Математика

Тема 2: Алгебра

Урок 3: Смысл производной

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Смысл производной

Любая функция может возрастать или убывать.

Производная характеризует темп изменения функции в конкретной точке.

 

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна коэффициенту наклона касательной, проведенной к точке.

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

  1. Если функция возрастает, то наклон касательной, проведённой к любой точке графика этой функции, будет положительным (k > 0), а следовательно и производная в данной точке тоже будет положительна.
  2. Если функция убывает, то наклон касательной, проведённой к любой точке графика этой функции, будет отрицательным (k < 0), а следовательно и производная в данной точке тоже будет отрицательна.
  3. Если функция меняет свой характер с возрастания на убывание, или наоборот, то в таких точках производная будет равна нулю.

Задача №1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение

6 3 =2

Ответ: 2

Физический смысл производной

Скорость – это производная функции расстояния в зависимости от времени.

Ускорение – это темп изменения скорости; вторая производная от функции расстояния от времени.

Задача №2.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=5 t 2 17t+10 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени = 5 с.

Решение

v(t)=( 5 t 2 17t+10 )=10t17

v(5)=105+17=33

Ответ: 33