ЕГЭ Математика

Смысл производной

Любая функция может возрастать или убывать.

Производная характеризует темп изменения функции в конкретной точке.

 

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна коэффициенту наклона касательной, проведенной к точке.

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

1. Если функция возрастает, то наклон касательной, проведённой к любой точке графика этой функции, будет положительным $(k > 0)$, а следовательно и производная в данной точке тоже будет положительна.
2. Если функция убывает, то наклон касательной, проведённой к любой точке графика этой функции, будет отрицательным $(k < 0),$ а следовательно и производная в данной точке тоже будет отрицательна.
3. Если функция меняет свой характер с возрастания на убывание, или наоборот, то в таких точках производная будет равна нулю.

Задача №1. На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение

$\frac{6}{3}=2$

Ответ: 2

Физический смысл производной

Скорость – это производная функции расстояния в зависимости от времени.

Ускорение – это темп изменения скорости; вторая производная от функции расстояния от времени.

Задача №2.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=5t^2-17t+10$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $\mathrm{t }= 5\mathrm{ с}.$

Решение

$v(t)=\left(5t^2-17t+10\right)=10t-17$

$v(5)=10\cdot 5+17=33$

Ответ: 33