ЕГЭ Математика

Отбор корней: тригонометрический круг

Задание №1. Решите уравнение $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и найдите корни, принадлежащие промежутку $\left[\frac{3\pi }{4};2\pi \right]$.

Решение

$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{3}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}\\ x=\frac{4\pi }{3}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}\mathrm{ }\end{array}\right.$

Из серий корней $x=\frac{4\pi }{3}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}\mathrm{ }$промежутку $\left[\frac{3\pi }{4};2\pi \right]$принадлежит корень $\frac{4\pi }{3}$, из серии корней $x=-\frac{\pi }{3}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}$ указанному промежутку принадлежит корень $\frac{5\pi }{3}$.

Есть корень на шаг $-\frac{\pi }{3}$ от $2\pi$, отсюда получаем $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi }{3}$ , $\frac{5\pi }{3}$.

Задание №2.

Определите корни уравнения $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежащие промежутку $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$.

Решение

$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x=\pm \frac{\pi }{4}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}$

Из серий корней $x=-\frac{\pi }{4}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}\mathrm{ }$ни один корень не попадает в искомый промежуток. 

Посмотрим на корни$x=\frac{\pi }{4}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{nϵZ}$, видим корень на шаг $\frac{\pi }{4}$ от $-4\pi$: $\frac{\pi }{4}-4\pi =-\frac{15\pi }{4}$. Получаем один корень $-\frac{15\pi }{4}$ принадлежит указанному промежутку.

Ответ: $-\frac{15\pi }{4}$.