ЕГЭ Математика

Экстремумы

Точка экстремума – это значение аргумента (х).

Экстремум – это значение функции (у).

Алгоритм нахождения точек минимума и максимума:

1. Находим производную;
2. Находим точки экстремума (приравниваем производную к нулю);
3. Определяем знаки производной между точками экстремума;
4. Выбираем необходимое значение.

Задача №1. Найдите точку максимума функции $у={х}^3-3{х}^2+2$ .

1. Найдём производную: $\left(у\right)\text{'}=3{х}^2-6х\Rightarrow \left(у\right)\text{'}=3х\left(x-2\right)$
2. Приравняем производную к нулю и найдём корни: $3х\left(x-2\right)=0\iff [\begin{array}{l}х=0\\ х=2\end{array}$
3. Определим, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает:

4. Видим, что искомая точка максимума – 0, так как при переходе через неё функция меняет свой характер с возрастания на убывание.

Ответ: 0.

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, подставляем удобные числа.

Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения функции:

1. Находим производную;
2. Находим точки экстремума;
3. Определяем знаки производной между точками экстремума;
4. Считаем исходную функцию в
   • начале промежутка
   • конце промежутка
   • точках экстремума, лежащих на промежутке $[а; b]$
5. Выбираем нужное значение (в ответ нужно записать значение ФУНКЦИИ).

Задача №2. Найдите наименьшее значение функции $y=x^3-27x$ на отрезке $[0; 4].$

${\left(y\right)}^{\text{'}}=3x^2-27=3\left(x^2-9\right)$

${\left(y\right)}^{\text{'}}=3\left(x^2-9\right)=0$

$x= \pm 3$

На промежутке [0; 4] лежит только точка экстремума $3$ .

y = 27 - 81 = -54

Ответ: -54.