ЕГЭ Математика

Графическое применение производной

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=k=\mathit{tg}\left(a\right)$ – значение производной функции в данной точке равно коэффициенту касательной и равно тангенсу угла наклона этой касательной.

1. Функция возрастает.

   Функция возрастает, если $f\text{'}\left(x_0\right)>0$ или $\mathit{tg\; a}>0$

2. Функция убывает.

   Функция убывает, если $f\text{'}\left(x_0\right)<0$ или $\mathit{tg\; a}<0$

3. Экстремум.

   Экстремум, если $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ или $\mathit{tg\; a}=0$

Точка максимума

До неё функция возрастает, после неё - убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус: $f^{\text{'}}\left(x_0\right)\mathit{с}+\mathit{на}-$

Точка минимума

До неё функция убывает, после неё - возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс: $f^{\text{'}}\left(x_0\right)\mathit{с}-\mathit{на}+$

Задача №1.

На графике изображена производная функции $f\text{'}\left(x\right)$. На отрезке [4;8] найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наименьшее значение.

Решение

 Производная на всем промежутке имеет отрицательное значение,  функция постоянно убывает. Тогда конце отрезка будет наименьшее значение. Абсцисса искомой точки 8.

 Ответ: 8

Задача №2.

На графике изображена функция $f\left(x\right).$ Найдите длину наибольшего промежутка, на котором производная функции отрицательна.

Решение

Если функция убывает, производная отрицательная.

Промежутки, на которых функция убывает: [-6;0] и [3;6].

Первый промежуток 6, второй 3. Подходит первый промежуток.

Ответ: 6