ЕГЭ Математика

Текстовые задачи на движение по воде

Движение по течению реки → течение «помогает» движению → скорость течения и собственная скорость объекта складываются.

Движение против течения реки → течение препятствует движению объекта → скорость течения вычитается из собственной скорости объекта.

$V=V_0+V_{\mathrm{течения}}$

$V=V_0-V_{\mathrm{течения}}$

Задача №1.

Катер прошел 36 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение

	Расстояние	Скорость	Время
По течению	36	x+3	$\frac{36}{x+3}$
Против течения	36	x-3	$\frac{36}{x-3}$

$\frac{36}{x+3}+\frac{36}{x-3}=5$

$36\left(x-3\right)+36\left(x+3\right)=5\left(x+3\right)\left(x-3\right)$

$36x-108+36x+108=5x^2-45$

$5x^2-72x-45=0$

$D={72}^2-4\bullet 5\bullet \left(-45\right)=5184+900=6084={78}^2$

$x_1=\frac{72+78}{10}=15;$

$x_2=\frac{72-78}{10}=-0,6$

Ответ: 15

Задача №2.

Расстояние между пристанями А и В равно 135 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 80 км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение

	Расстояние	Скорость	Время
Лодка по течению	$135$	$x+4$	$\frac{135}{x+4}$
Лодка против течения	$135$	$x-4$	$\frac{135}{x-4}$
Плот	$80$	$4$	$80:4=20$

Составим уравнение, где время пребывания лодки по воде складывается из времени движения по течению и времени движения против течения и на 2 часа меньше времени движения плота, т.к. лодка выдвинулась позже:

$\frac{135}{x+4}+\frac{135}{x-4}=20-2$

$135\left(x-4\right)+135\left(x+4\right)-18\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$

$135x-540+135x+540-18x^2+18\bullet 16=0$

$18x^2-270x-288=0$

$x^2-15x-16=0$

По теореме Виета:

$x_1=-1; x_2=16$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, собственная скорость лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16