ЕГЭ Математика

Экономические задачи на оптимизацию

Оптимизация процессов – это блок, в котором с точки зрения математики нужно найти максимальное значение заданной величины при заданных ограничениях.

Задача

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработкиx кг чёрных металлов в день требуется x² человеко-часов труда, а для обработки у; кг цветных металлов в день требуется у² человеко-часов труда. Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Пусть p и t, - это количество рабочих, добывающих чёрный металл на первом и втором заводах: 360 – p и 360 – t.

Первый завод

За один час обрабатывается 0,3 кг черного металла, если рабочий будет работать 5 часов, то он обработает 0,3 ∙ 5 = 1,5 кг.

Если будет работать p рабочих, тогда первый завод выработает 1,5p.

Количество обработанного металла выражается как 0,5(360 – p).

Тогда его суммарная добыча выражается как сумма обработанных металлов:

$f\left(p\right)=\mathrm{1,5}p+\mathrm{0,5}\left(360–p\right)$

p = 360, первый завод максимально может выработать 1,5 ∙ 360 = 540 кг в день.

Второй завод

Суммарное количество килограммов металлов равно х + у.

х2 = 5t, тогда х = $\sqrt{5t}$

$у2=5\left(360–t\right)$ тогда $у=\sqrt{5\left(360-t\right)}$

Суммарное количество килограммов металлов $f\left(t\right)=\sqrt{5t}+\sqrt{5\left(360-t\right)}$ .

$\frac{5}{2\sqrt{5t}}-\frac{5}{2\sqrt{5\left(360-t\right)}}=0$

t = 180

 

 

$f\left(t\right)=\sqrt{5\mathrm{180}}+\sqrt{5\left(360-\mathrm{180}\right)}$ .

f (t) = 30+30 = 60

Наибольшая возможная масса металла с двух заводов равна $540 + 60 = 600\mathit{ кг}.$

Ответ: 600.

Основные принципы работы с задачами на оптимизацию:

- Выделить 2 неизвестные переменные. 

- Если возможно, определить зависимость между этими переменными (чаще всего с помощью уравнения).

- Выразить одну переменную через другую.

- Составить функцию, которую нужно оптимизировать.

- Решить задачу на поиск максимума (минимума), наибольшего (наименьшего) значения.