Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Прямоугольный параллелепипед (продолжение)

 

Прямоугольный параллелепипед

 

 

Определение. Параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ называется прямоугольным, если:

 

1. АА₁ ⊥ АВСD (то есть, параллелепипед прямой).

2. АВ ⊥ АD, т. е. в основании тоже лежит прямоугольник.

Рис. 1

Основные элементы: грани, ребра, вершины, диагонали и др.

 

Свойства прямоугольного параллелепипеда

 

 

1. Все свойства произвольного параллелепипеда.

 

2. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

4.  (см. рис. 2).

5. Диагонали равны.

Рис. 2

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

 

Задача 1

 

 

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

 

Рис. 3

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб

Найти:

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией. Проекцией прямой B₁Dна плоскость АВС является прямая BD, так как ВВ₁ ⊥ ABC. Поэтому: ∠(B₁D; ABC) = ∠BDB₁ = α. Ребро куба обозначим за а: AD = a. Тогда:

Ответ:

 

Задача 2

 

 

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ дано:

 

D₁B = d, AC = m, AB = n.

Найдите расстояние между:

а) прямой А₁С₁ и плоскостью АВС;

б) плоскостями АВВ₁ и DCC₁:

в) прямой DD₁ и плоскостью ACC₁;

Найдите:

г) косинус угла между прямой D₁B и плоскостью АВС;

д) расстояние между прямыми DD₁ и AC.

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед.

D₁B = d, AC = m, AB = n.

Рис. 4

а) ρ (А₁С₁, АВС)

Решение:

Пусть ВС = х, DD₁ = y.

Найдем ВС из прямоугольного треугольника АВС с помощью теоремы Пифагора:

. То есть, х .

BD = AC = m (как диагонали в прямоугольнике). Найдем DD₁из прямоугольного треугольника BDD₁с помощью теоремы Пифагора:

. То есть, у .

Прямая А₁С₁параллельна плоскости АВС. Значит, расстоянием между прямой и плоскостью является перпендикуляр, опущенный с точки прямой А₁С₁ на плоскость АВС, например, АА₁. Значит, ρ (А₁С₁, АВС) = АА₁ =  = у .

Ответ:

б) ρ (АВВ₁, DCC₁)

Плоскости АВВ₁ и DCC₁ параллельны. Значит, расстоянием является перпендикуляр, опущенный с любой точки одной плоскости на другую плоскость. Например, перпендикуляр ВС. Из пункта а) имеем:.

Ответ:

в) ρ (DD₁, ACC₁).

Прямая DD₁параллельна прямой АА₁ из плоскости АА₁С₁, а значит, прямая DD₁параллельна плоскости АА₁С₁. Опустим с точки Dпрямой DD₁ перпендикуляр DH к прямой АС (рис. 5).

Рис. 5

Прямая АА₁ перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой DH, так как .

Получаем, что прямая DHперпендикулярна двум пересекающимся прямым АА₁ и АС из плоскости АА₁С₁. Значит, прямая DH– есть перпендикуляр к плоскости ACC₁. Тогда, DH = ρ (DD₁, ACC₁).

Рис. 6

Из прямоугольного треугольника DHC выразим DH:

Из прямоугольного треугольника ADC имеем:

Получаем:

Ответ: .

 

г)  

Решение:

Угол между прямой D₁Bи плоскостью АВС равен углу между прямой D₁B и ее проекцией на плоскость АВС. DD₁ – перпендикуляр к плоскости АВС. Значит, проекция D₁Bна плоскость АВС – это DB. Значит, ∠(D₁B, ABC) = ∠DBD₁ = φ.

Ответ: .

д) ρ (DD₁, AC).

Решение:

Прямая АС лежит в плоскости АВС, а прямая DD₁ пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, прямые DD₁ и AC скрещиваются. Прямая DD₁ параллельна плоскости АСС₁, в которой лежит прямая АС.

Значит, ρ (DD₁, AC) = ρ (DD₁, ACC₁) = .

Ответ: .

 

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы повторили основные свойства прямоугольного параллелепипеда и решили задачи с использованием этих свойств. Следующий урок мы посвятим повторению перпендикулярности прямой и плоскости.

 

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Задания 12, 13 стр. 68.
3. Найдите диагонали прямого параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ , где ∠BAD = 120°, AB = 4 см, AD = 8 см, AA₁ = 6 см.
4. Вспомните, какие фигуры могут получиться в результате сечения параллелепипеда плоскостью.
5. Найдите косинус двугранного угла при ребре ВВ₁ прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁(см. рис.), если АА₁ = 5 см, BD = 3 см, площадь грани АА₁В₁В =  см², а площадь грани AA₁D₁D = 25 см².

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ФМ Класс (Источник).
2. Интернет-портал Webmath.exponenta.ru (Источник).
3. Я Класс (Источник).