Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Повторение теории и решение задач по теме Перпендикулярность прямой и плоскости

 

1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

 

 

Определение. Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой т, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

 

Рис. 1

 

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

 

 

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

 

3. Теорема (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости)

 

 

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перепедикуляная этой плоскости.

 

Пусть прямая а параллельна прямой а₁. Прямая а перепендикулярна плоскости (рис. 3). Тогда, по теореме, прямая а₁ перпендикулярна плоскости.

Рис. 3

 

4. Теорема (о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости)

 

 

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

 

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая a₁ перпендикулярна плоскости (рис. 3). По теореме, прямая а параллельна прямой a₁.

 

5. Прямой параллелепипед

 

 

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

 

Пусть боковое ребро АА₁ перпендикулярно основанию АВС (рис. 4). Но прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ и DD₁ – параллельны. Значит, прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ и DD₁ перпендикулярны плоскости АВС.

Рис. 4

 

6. Теорема (о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной прямой)

 

 

Через любую точку М пространства проходит единственная плоскость γ, перпендикулярная данной прямой а (рис. 5).

 

Рис. 5

 

7. Важный частный случай теоремы

 

 

Пусть дан отрезок АВ (рис. 6). М – середина АВ. Согласно теореме, через точку М проходит единственная плоскость γ, которая перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость γ есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка АВ.

 

Пусть точка N лежит в плоскости γ. Тогда NА = NВ.

Пусть точка К равноудалена от концов отрезка АВ, то есть АК = ВК. Тогда точка К принадлежит плоскости γ.

Рис. 6

 

8. Теорема (о существовании и единственности прямой, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной плоскости)

 

 

Через любую точку М пространства проходит прямая р, перпендикулярная плоскости α, и притом только одна (рис. 7).

 

Рис. 7

 

9. Важный частный случай теоремы

 

 

Дан треугольник АВС. Точка О – центр описанной окружности, значит, ОА = ОВ = ОС = R, R – радиус окружности. Проведем перпендикуляр ОМ = р к плоскости АВС. Тогда любая точка перпендикуляра равноудалена от вершин треугольника АВС, то есть МА = МВ = МС = l.

 

Рис. 8

МО – перпендикуляр к плоскости АВС, а значит прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС – прямоугольные. В этих треугольниках катет МО – общий, а катеты АО, ВО, СО – равны. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС равны по двум катетам. А значит, МА = МВ = МС, что мы и хотели показать.

 

10. Задача 1а

 

 

Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС (рис. 9). Точка D равноудалена от концов отрезка ВС, точка А также равноудалена от концов отрезка ВС.

 

а) Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.

Дано:

 

 

Доказать:

Рис. 9

Доказательство:

Пусть М – середина отрезка ВС. Треугольник АВС – равнобедренный, так как АВ = АС. Тогда медиана АМ является и высотой, то есть

Треугольник DВС – равнобедренный, так как DВ = DС. Тогда медиана DМ является и высотой, то есть

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым DM и AM из плоскости DMA, а значит, прямая ВС перпендикулярна прямой DA, которая лежит в плоскости DMA, что и требовалось доказать.

 

11. Задача 1б

 

 

б) Построить общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

 

Рис. 10

Прямая ВС лежит в плоскости АВС. Прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, прямые ВС и АD скрещиваются.

Проведем МН перпендикулярно АD (рис. 10). Но прямая ВС перпендикулярна плоскости АDM, а значит, и прямой МН, лежащей в плоскости АDM. Значит, МН – общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

 

12. Задача 2

 

 

Плоскости α и β пересекаются по прямой а (рис. 11). Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС ⊥ а.

 

Дано:

 

 

Доказать:

Доказательство:

Прямая МА перпендикулярна плоскости α. Прямая а лежит в плоскости α. Значит, прямая МА перпендикулярна прямой а.

Прямая МB перпендикулярна плоскости β. Прямая а лежит в плоскости β. Значит, прямая МB перпендикулярна прямой а.

Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости АВМ. Прямая СМ лежит в плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой МС, что и требовалось доказать.

Рис. 11

 

13. Итоги урока

 

 

Мы повторили теорию и решили типовые задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». На следующем уроке мы повторим теорию и решим задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная, угол между прямой и плоскостью».

 

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Задания 15, 16, 17 стр. 58.
3. Точки А и В лежат вне плоскости α. Из точек А и В проведены перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ к плоскости α, причем прямые АВ и А₁В₁ параллельны. Докажите, что АА₁В₁В – прямоугольник.
4. Через сторону АВ ромба ABCD проходит плоскость α так, что ВС ⊥ α. Докажите, что ABCD – квадрат.
5. Точка М лежит вне плоскости равностороннего треугольника АВС, МА = МВ = МС. О – центр треугольника АВС. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный страницы (Источник).
2. Я Класс (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).