Математика

Таблица производных

 

Дифференцирование функций «с нуля», т. е. исходя из определения производной и теории пределов – вещи достаточно трудоёмкая. Поэтому математики вычислили производные элементарных функций. Получилась таблица производных, где всё уже готово.

 

Производные некоторых элементарных функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Доказательство формулы (√x)Ꞌ=1/(2√x)

 

 

Дано:

 

Доказать:

Доказательство

Изобразим график функции:  (см. Рис. 1). Зафиксируем точку  и приращение аргумента . Получаем новое значение аргумента  и, соответственно, новое значение функции . То есть при переходе от значения аргумента  к  значения функции изменяются соответственно от  до  . Значение функции в новой точке равно .

Получили прямоугольный треугольник (выделен красным цветом), катетами которого являются два приращения – приращение аргумента () и приращение функции (– разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Найдём отношение :

Умножим числитель и знаменатель на выражение :

В числителе получили выражение разности квадратов:

Следовательно:

Проанализируем данное выражение при :

 – произвольное допустимое число, поэтому:

Что и требовалось доказать.

 

Задача 1

 

 

Дано:

 

Найти:

Решение

1. Найдём производную в любой точке :

2. Найдём производную в заданной точке:

Как известно, это значение является тангенсом угла наклона касательной к кривой , проведённой в точке с абсциссой 4 (см. Рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ:

 

Доказательство формулы (sinx )Ꞌ=cosx

 

 

Дано:

 

Доказать:

Доказательство

На рисунке 3 показано, каким образом ведёт себя функция . Зафиксируем точку  и приращение аргумента . Получаем новое значение аргумента (новую точку) . При переходе от значения аргумента  к  значения функции изменяются соответственно от  до .

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству

Найдём отношение :

Для упрощения этого выражения используем формулу разности синусов:

При :

Объясним это, рассмотрев тригонометрический круг с радиусом 1 и угол, равный  (см. Рис. 4). Нам необходимо найти длину дуги  и длину хорды .

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол:

Радиус равен 1, поэтому длина дуги численно равна центральному углу, который равен . Следовательно:

Хорда  состоит из двух катетов треугольников  и , которые равны произведению гипотенузы (единица, так как это радиус) на синус противолежащего угла. Следовательно:

При  длина дуги стремится к длине хорды:

То есть при маленьком угле дуга и хорда по длине неразличимы.

Таким образом, домножив выражение  на 2, получаем выражение , которое есть отношение длины хорды к длине дуги:

Но так как , то:

Следовательно, при :

Поэтому:

Что и требовалось доказать.

 

Задача 2

 

 

Дано:

 

Найти:

Решение

1. Найдём производную в любой точке :

2. Найдём производную в заданной точке:

Ответ: .

 

Задача 3

 

 

Дано:

 

Найти: тангенс угла наклона касательной к кривой  в точках: а) ; б) ; в)

Решение

На рисунке 5 показана иллюстрация к задаче. Изображена синусоида, к точке кривой с абсциссой  проведена касательная, которая образует угол  с осью . Тангенс данного угла необходимо найти. Также необходимо найти тангенс угла, который образовывается при пересечении оси абсцисс с касательной, проведённой к точке кривой с абсциссой 0 и  .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Так как , то:

а) Для точки  тангенс угла наклона касательной будет равен:

б) Для точки  тангенс угла наклона касательной будет равен:

Следовательно, прямая , изображённая на рисунке 5, является касательной к синусоиде в точке 0.

в) Для точки , тангенс угла наклона касательной будет равен:

Следовательно, в этом случае касательная параллельна оси .

Ответ: а) ; б) ; в) .

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
4. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

 

Домашнее задание

1. Задание 231, 232 (стр. 120) – А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа (см. список рекомендованной литературы) (Источник).
2. Доказать формулу производной .
3. Доказать формулу производной .
4. Найти производную функции .

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Webmath.ru (Источник).
2. Интернет-портал Youtube.com (Источник).
3. Интернет-портал Cleverstudents.ru (Источник).