Математика

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Уравнение касательной к графику функции

 

1. Уравнение касательной к графику функции

 

 

На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.

 

 Построим кривую  (см. рис.1).

 

Рис. 1. График функции .

Зафиксируем точку . Если , то значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами (.

Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции  в точке с абсциссой , в которой  - существует.

Уравнение касательной – это прямая,  которая задается формулой  

Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: и . Исходя из геометрического смысла производной  (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент .

Параметр  найдем из условия, что касательная проходит через точку (, то есть  . 

 .

Стало быть  .

Запишем уравнение касательной

.

Или, .

Получили уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой .

 

2. Смысл элементов уравнения касательной

 

 

Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

 

1) ( – точка касания касательной и графика функции.

2)  - угловой коэффициент касательной к графику функции.

3)  – произвольная точка на касательной.

Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что   – это произвольная точка на касательной.

Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.

 

3. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

 

 

Задача.

 

К кривой  в точке с абсциссой  провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).

 

Рис. 2. Касательная к графику функции .

Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке  равно 1.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:

1)  Найти  и точку касания. 

 - дано.Точка касания: (;.

2) Найти производную в любой точке .

.

3) Найти значение производной в точке с абсциссой .

 .

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.

.

Упрощаем и получаем:  .

Ответ: .

 

4. Сопутствующие задачи

 

 

Задача 1.

 

Пусть дано уравнение касательной .

Найдите точки пересечения касательной с осями координат.

Если , то .  – это первая точка.

Если , то  .  - вторая точка.

Итак, первая точка – это точка  с координатами . Вторая точка – точка пересечения с осью  , точка  с координатами  (см. рис.3).

Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции  с осями координат. Задача 2.

Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (Рис. 3). Длина катета  равна 1. Длина катета   . Длину отрезка  из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:

 

Задача 3.

Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника (Рис. 3) - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Следующая задача для самостоятельного решения.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .

 

5. Касательная к графику тригонометрической функции

 

 

Рассмотрим пример.

 

Дана функция . Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.

Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).

Рис. 4. Касательная к  графику функции .

Нахождение точки касания.

1.   Точка касания имеет координаты .

2. Найти .

3. Найти

И, последнее действие, – написать уравнение касательной.

4. .

 Упростим и получим  .

Заметим в точке  синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки  синусоида и прямая почти не различаются.

 

6. Итог урока

 

 

Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 43.22, 43.25 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)