Математика

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Дифференцирование функции y=f(kx+m)

 

1. Постановка задачи. Правило нахождения производной функции y=f(kx+m)

 

 

Дифференцирование функции  

 

Физический смысл производной – это мгновенная скорость роста функции при данном значении аргумента. Мы изучили таблицу производных от функций, которые зависели от аргумента. Например, , , где  и  – функции, зависящие только от аргумента . Теперь вместо аргумента  ставится аргумент . Например, найти производную  или . Трудность заключается в том, что мы имеем дело со сложной функцией: функция зависит не от , а от функции от . В данном случае функция от  - это линейная функция.

Без доказательства в учебнике принимается следующее правило:

.

Напомним, что  

Всю таблицу производных и правила дифференцирования, которые мы знаем, усложняем наличием аргумента .

Научимся находить такие производные. Например,

.

Рассмотрим всю таблицу производных, но аргументом будет линейная функция от .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. .

Запишем конкретный пример:

 .

 

2. Производная тангенса

 

 

Пополним таблицу производных. Выведем производную , пользуясь соответствующими правилами. Знаем, что . Напомним, что

 

Тогда:

Итак, получили, что .

Теперь вместо  можем поставить линейную функцию от , а именно

 .

Получили еще одну формулу.

Примеры.

1) .

2) .

Итак, пользуясь правилом, которое мы изучаем, вывели дополнительную формулу для производной тангенса. Сделаем то же самое относительно котангенса.

 

3. Производная котангенса

 

 

 

 

Итак, вывели еще одну формулу . Таким образом, вывели производную котангенса также как и вывели производную тангенса от простого аргумента. Тогда,

.

Пример.

Вычислить производную . Для начала запишем отдельно производную аргумента , а теперь запишем производную

 

4. Итог урока

 

 

На уроке изучены производные от функций, аргументом которых есть линейные функции. Для того чтобы найти производную , нужно взять производную от самой функции и умножить на коэффициент , то есть . Таблицу производных, дополнили  производными тангенса и котангенса.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 42.1; 42.2 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007)