Математика

Преобразование степенных выражений

 

Для успешного и, главное, быстрого выполнения задач все действия нужно оптимизировать. Когда вы идете из дома в магазин, едете на транспорте в другую точку города – вы всегда стараетесь выбрать оптимальный маршрут: например, чтобы доехать как можно быстрее. Оптимизация экономит ваше время.

 

Когда вы выбираете смартфон, компьютер, открываете приложение или заходите на сайт - вы хотите, чтобы все это работало быстро. Никому не хочется ждать и тратить своё время. Для этого разработчики стараются оптимизировать все процессы – это экономит время тысяч, а иногда даже миллионов пользователей.

Оптимизация работы программы – сложная техническая задача, о ней мы говорить не будем. Мы затронем небольшую составляющую этой задачи – упрощение выражений. Мы уже говорили, что выражение тем проще, чем меньше операций нужно сделать для вычисления его значения. Чем проще будет выражение, тем меньше времени нужно на его вычисление, тем быстрее работает алгоритм и программа в целом.

Вы уже знакомы с методами упрощения различных выражений: рациональных, дробных, тригонометрических, содержащих квадратные корни. Сегодня мы поговорим об упрощении степенных и логарифмических выражений. Начнем со степенных. Для их упрощения нам понадобятся свойства степени ():

Причем все эти свойства справедливы для любых действительных показателей степеней. Как видим, чтобы применить свойства степеней, у выражений должны быть или одинаковые основания, или одинаковые показатели. На этом и основана идея упрощения: привести выражения к одинаковому основанию или одинаковому показателю степени или сгруппировать выражения с одинаковыми основаниями или показателями. При необходимости можно использовать разложение на простые множители, чтобы понять, как именно группировать выражения.

 

Задание 1. Вычислить:

Решение.

Приводим выражения к одинаковому основанию :

Тогда:

По свойству степеней:

Вычислим отдельно показатель степени:

Получаем:

Ответ: .

Если в выражении нам встречается корень натуральной степени, то мы можем перейти от него к рациональной степени и снова использовать свойства степеней:

Но будьте внимательны! Такой переход возможен только для , ведь понятие степени с рациональным показателем определено для положительного основания. Если же может быть отрицательным, то такой заменой пользоваться нельзя и нужно будет использовать различные свойства степеней.

 

Задание 2. Упростить выражение:

Решение.

Видим корень -ой степени. Можем ли его преобразовать в степень? Да, в выражении есть степени  с рациональным показателем, значит . Получаем:

Применяем свойства степеней:

Ответ: .

Чтобы увидеть, почему важно проверять, положительно основание или нет, а заодно понять, почему не определяют степень с рациональным показателем для отрицательных оснований, рассмотрим следующий пример.

 

Задание 3. Вычислить:

Решение.

Если мы сразу перейдем к степени, получим: 

Правильный ли это ответ? Нет, ведь мы получили отрицательное число. А по условию у нас корень четвертой степени - он может принимать только неотрицательные значения. Ошибка в том, что мы не проверили основание степени! , а чтобы перейти к степени с рациональным показателем должно быть больше нуля.

Для решения воспользуемся тем, что . Теперь основание уже положительно, можем переходить к степени:

Ответ: .

 

Задание 4. Упростить выражение:

Решение.

Здесь мы ничего не знаем про значения  и , положительные они или нет. Поэтому не сможем сразу перейти к степенным выражениям. Лучше воспользуемся свойствами корней. Видим здесь корни одинаковой степени, так что нам понадобятся следующие свойства:

Применяя их, получаем:

Упростим подкоренное выражение:

Далее выделим под корнем выражение в -ей степени. Это позволит нам затем использовать свойство корня нечетной степени: :

В итоге получаем:

Ответ: .

С еще одним заданием на упрощение выражения с корнями вы можете ознакомиться в ответвлении.

---

 

Пример

Упростить выражение:

Решение.

Можно ли здесь перейти от корней к степеням? Выражение  стоит под корнем четной степени (квадратным корнем). По определению корня четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит, мы можем перейти к степенному выражению:

Может возникнуть желание применить свойство  , но это будет неверно. Чтобы его применить, выражения  и   должны быть определены. Но это не обязательно так, ведь возможно, что ; . Тогда выражения  и   не будут иметь смысла, а вот выражение  будет определено.

Чтобы не было желания применить свойство, обозначим:

Тогда:

Получаем:

Возвращаясь к исходным обозначениям:

Ответ:.

---

 

Преобразование логарифмических выражений

 

 

Теперь перейдем к упрощению логарифмических выражений. Для них нам понадобятся свойства логарифмов ():

 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.     

Глядя на формулы, выделим основные моменты, которые нам пригодятся при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

для использования формул 3 и 4 выражение под логарифмом нужно представить в виде произведения или частного. Часто эти формулы применяют справа налево; для использования формул 5 и 6 выражение под логарифмом и в основании логарифма нужно представить в виде степени числа; для использования формул сложения, вычитания, деления логарифмов их основания должны быть одинаковы.

 

Итак, потренируемся упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами.

 

Задание 5. Вычислить: 

Решение.

Выражение под логарифмом и его основание можем представить в виде степени числа :

Получаем:

Можем воспользоваться свойствами логарифма:

 выносим как множитель,  – в знаменатель. Получаем:

По определению логарифма, . В итоге исходное выражение равно :

Ответ: .

 

Задание 6. Упростить выражение:

Решение.

Видим деление логарифмов с одинаковыми основаниями - можем применить свойство:

Получаем:

По определению:

В итоге получаем:

Ответ: .

 

Задание 7. Вычислить:

Решение.

 мы не можем представить в виде степени числа . Зато можем разложить на множители:

По свойствам логарифмов получаем:

Осталось вычислить . Тут уже ничего не упростить, нужно воспользоваться калькулятором. Но в большинстве калькуляторов вы найдете лишь функции  и  - натуральные и десятичные логарифмы. Как же, используя их, вычислить ? Здесь нам пригодится формула перехода к новому основанию:

По ней:

Вычисляем на калькуляторе приблизительные значения:

Тогда:

Исходное выражение:

Ответ: .

С решением еще одного подобного задания вы можете ознакомиться в ответвлении.

---

 

Пример

Вычислить значение:

если:

Решение.

Здесь нам нужно выразить одно иррациональное число через два других. Принцип тот же: раскладываем на множители число под логарифмом:

Используем формулу произведения логарифмов:

Выносим степени:

Осталось воспользоваться условием . Получим:

Ответ: .

---

Теперь посмотрим, как можно упрощать логарифмические выражения с использованием эквивалентного определения логарифма – основного логарифмического тождества:

Видим, что для применения формулы нужно, чтобы основание степени и основание логарифма совпадали. Сделать это можно, опять же, представляя выражения в виде степеней.

 

Задание 8. Вычислить:

Решение.

Основание степени и логарифма отличаются. Для использования основного логарифмического тождества представим . Тогда по свойству степеней:

Осталось внести множитель перед логарифмом как степень:

Теперь основания степени и логарифма одинаковы.  Можем применить основное логарифмическое тождество:

Ответ: .

 

Задание 9. Упростить выражение:

Решение.

Здесь уже основание логарифма можем представить в виде степени пятерки:

Применяем свойств логарифма:

Теперь множитель перед логарифмом можем внести как степень:

Как и в предыдущем задании, мы получили одинаковые основания степени и логарифма и можем применить основное логарифмическое тождество:

Ответ: .

 

Преобразование более сложных логарифмических выражений

 

 

Посмотрим на формулу перехода к новому основанию:

 

Если новое основание взять равное выражению под логарифмом, то получим:

И, поскольку, , то в итоге получим:

То, что  и  взаимообратные величины – не совпадение.  – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить . То есть . Тогда  или же . Степень, в которую нужно возвести , чтобы получить , равна . А это и есть  по определению:

Это свойство логарифмов также можно применить для упрощения и вычисления различных выражений.

 

Задание 10. Найти значение выражения: 

Решение.

Выражение под логарифмами можем представить в виде степени и вынести их за логарифм:

В итоге получаем произведение  Мы показали, что это взаимообратные величины, значит их произведение равно . Получаем ответ .

Ответ: .

 

Задание 11. Вычислить:

Решение.

Начнем в первых двух множителей:

Ранее мы показали, что:

Тогда получим:

По формуле перехода к новому основанию:

Опять, перевернем логарифм и умножим на следующий множитель. Получаем:

Уже видна закономерность. Применяя этот прием несколько раз, на последнем шаге мы получим:

Ответ: .

 

Задание 12. Вычислить:  если: 

Решение.

Видим в основании логарифмов произведение. Для таких случаев формул у нас нет, зато есть формулы, когда произведение стоит под логарифмом. Перевернем логарифм:

Теперь можем применить свойства:

Значение этого выражения нам нужно найти.

Аналогично:

По условию это выражение равно :

Тогда:

Тогда:

Подставляем:

Ответ: .

Это же задание можно было сделать и другим способом. Подобнее – в ответвлении.

---

 

Другой способ решения

Вычислить:  если: 

Решение.

В заданном соотношении можем от логарифмов перейти к степеням:

Упростим:

 (подумайте почему). Можем разделить обе части равенства на :

Затем на :

Подставим это в искомое выражение:

Ответ: .

---

 

Оценка значений выражений

 

 

От упрощения выражений перейдем к оценке значений. Мы уже ранее говорили, что значения корней натуральной степени и логарифмов часто являются иррациональными числами. Т. е. мы их не можем точно записать с помощью конечной десятичной дроби. Можно лишь приближенно вычислить. Удобно использовать для этих целей калькулятор, но он не всегда может быть под рукой, да и на многих экзаменах нельзя им пользоваться. Поэтому сейчас мы посмотрим, как можно оценивать значения выражений без калькулятора. 

 

 

Задание 13. Расположите числа в порядке возрастания:

Решение.

Оценим каждое из выражений с точностью до целых.

1. . По определению, это такая степень, в которую нужно возвести число , чтобы получить . Начинаем подбирать степени: . Т. е. значение  лежит в промежутке от  до .

2. . По определению, это такое число, которое при возведении в -ю степень равно . Подбираем это число:  – мало;  – мало;  – уже много. Значит, значение  лежит в промежутке от  до .

3. Чтобы оценить значение , сначала запишем его с помощью корня:

Это будет число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить . Подбираем: – мало;   – уже много. Т. е. значение  лежит в промежутке от  до .

Итак, пока что мы можем точно сказать, что логарифм принимает наименьшее значение, а вот для сравнения выражений  и  нам пока недостаточно точности. Можно было бы подобрать и более точно, но это будет долго. Напоминаю, мы говорим о работе без калькулятора!

Для сравнения  применим следующий прием. Мы знаем, что все степенные функции с натуральным показателем возрастают для положительных значений аргументов (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию 13

Т. е., если , то  и наоборот. Используем это. Возведем выражения  и  в такую степень, чтобы избавиться от корней. В данном случае это будет -ая степень. Тогда: 

Поскольку -ая степень выражения  больше -ой степени выражения , то и . Получаем ряд в порядке возрастания:

Разберем подробнее, почему мы возводили именно в -ую степень. Мы представили выражения в виде степеней с рациональными показателями  и . При возведении в некоторую степень  мы получим степени:  и . Для удобного сравнения нам нужно, чтобы степени были целыми числами, причем как можно меньшими. Т. е.  должно делиться и на , и на , и быть минимальным. А это не что иное, как наименьшее общее кратное. Для любых других показателей степени нужно будет искать наименьшее общее кратное их знаменателей и возводить именно в эту степень.

Ответ: .

Без калькулятора сложно оценивать не только иррациональные выражения, но и большие числа. Так, мы знаем, что показательная функция очень быстро возрастает и может быть проблематичным без калькулятора сравнить, к примеру, числа  и . Здесь нам снова на помощь придет свойство степенных функций: . Попробуем представить заданные числа в виде  и . При чем так, чтобы числа a и b были как можно меньше. Тогда их легче будет вычислить. Это можно сделать в виде:

Поскольку , то и , т. е. .

Почему мы взяли именно -ую степень? Обратите внимание, что эта степень должна быть делителем и числа , и числа . Только тогда мы сможем воспользоваться свойством степени: . Причем, чтобы основания степени были как можно меньше, степень должна быть как можно больше. Таким образом, это будет наибольший общий делитель. При сравнении других чисел в больших степенях также нужно будет искать наибольший общий делитель. этих степеней и аналогично сравнивать полученные основания.

 

Преобразование графиков функций

 

 

В конце нашего практического занятия поговорим о графиках функций. Мы изучили простейшие степенные, показательные и логарифмические функции и их графики (см. рис. 2):

 

Рис. 2. Графики функций

Это базовые графики. Реальные процессы имеют более сложные зависимости. Например, при радиоактивном распаде масса радиоактивного образца  зависит от времени следующим образом:

где  – начальная масса образца,  – период полураспада. По сути, это некоторые численные значения.

Чтобы строить графики подобных реальных процессов нужно знать лишь две вещи:

• как выглядит график базовой функции. Это мы изучали ранее (Свойства функций. Базовые функции);
• Как преобразовать график функции. Это мы изучали в 8 классе (Преобразование графиков функций).

Вкратце вспомним эти преобразования (см. рис. 3):

1. прибавление числа к функции сдвигает график вдоль оси .

2. прибавление числа к аргументу  сдвигает график вдоль оси .

3. умножение значения функции на число  растягивает/сжимает график вдоль оси . Если  отрицательное, то еще и симметрично отражает график относительно оси .

4. умножение аргумента на число  растягивает/сжимает график вдоль оси . Если  отрицательное, то еще и симметрично отражает график относительно оси .

Рис. 3. Преобразования графиков функций

Посмотрим на нашу функцию. Базовой будет:

Это показательная функция, с основанием больше . Значит, она выглядит вот так (см. рис. 4).

Рис. 4. График функции

Делим аргумент на :

Функция растянется вдоль горизонтальной осив  раз (см. рис. 5).

Рис. 5. График функции

При умножении аргумента на  функция отразится симметрично относительно вертикальной оси (см. рис. 6).

Рис. 6. График функции

И наконец, умножаем всю функцию на  – график растянется вдоль вертикальной оси в  раз. При этом обычно рассматривают время большее , т. е. оставляем только первую четверть (см. рис. 7).

Рис. 7. График функции

Таким образом, мы построили график зависимости массы радиоактивного образца от времени.

Кроме наглядного отображения процессов, функции можно использовать и для решения уравнений. Это называется графическим методом решения (Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции).

 

Задание 14. Решить уравнение:

Решение.

Это уравнения содержит неизвестную и в степени, и в показателе. В дальнейшем мы познакомимся с различными методами решения и степенных, и показательных уравнений, но ни одним из них не получится решить данное уравнение. Здесь на помощь придет графический метод. Строим графики, соответствующие левой и правой частям уравнения.

Чтобы построить  строим  (показатель больше ) (см. рис. 8) и сдвигаем на  вправо (см. рис. 9).

Рис. 8. Иллюстрация к заданию 14

Рис. 9. Иллюстрация к заданию 14

Для построения  строим  (основание меньше ) (см. рис. 10) и сдвигаем на  вправо.

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 14

Видим пересечение приблизительно в точке с координатой  (см. рис. 11). Проверим:

Равенство верное, значит,  – корень уравнения.

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 14

Кроме того, можем обратить внимания, что функция  возрастает, а  – убывает. А ранее на уроке (Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции) мы доказывали, что из этого следует, что уравнение имеет не более одного корня. Таким образом, корнем уравнения является только .

Ответ: 3.

 

Список рекомендованной литературы.

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Интернет-портал «zaochnik.com»
2. Интернет-портал «cleverstudents.ru»
3. Интернет-портал «uztest.ru»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Упростить выражение: 
2. Вычислить: 
3. Решить уравнение: