Математика

Введение

 

Сколько чугуна нужно, чтобы отлить пушечное ядро? Что занимает больше места: арбузная корка или мякоть арбуза? Сколько воздуха поместится внутри воздушного шара? Чтобы ответить на все эти и многие другие вопросы, необходимо уметь находить объем шара. Сделать это не так просто. Разбить его на «кубики», треугольные призмы или другие фигуры, как это делалось раньше, не получится. Можно вычислить объем шара с помощью определенного интеграла. Но как же тогда вычисляли объем, например, древние греки – при отсутствии определенных интегралов? Метод, придуманный Архимедом, был очень красив и по сути своей являлся предшественником метода доказательства через интеграл. Он доказал формулу объема шара понятийно, представив половину шара через конус и цилиндр, объемы которых уже известны.

 

 

Метод Архимеда для вычисления объема шара

 

 

Идея Архимеда была такова.

 

Замечание: формулы объемов цилиндра и конуса Архимед уже знал.

Рассмотрим весы и такую конструкцию. На левой чаше – цилиндр радиуса  и его высота . На правой чаше – конус радиуса  и высотой  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Исходная конструкция

Разобьем каждую из этих фигур на  равных слоев (цилиндриков). Будем считать, что конус тоже составлен из цилиндриков. (радиус у них у всех – , а высота слоя – , все колечки из одного и того же материала). Справа находится конус, составленный также из цилиндриков, высота каждого из которых – , а радиус уменьшается от  до  на  в арифметической прогрессии, а также из полушар радиуса  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Разбиение фигур на «цилиндрики»

Докажем, что чаши уравновешены. Чтобы уравновесить чаши, необходимо добавить к каждому колечку конуса недостающее колечко так, чтобы суммарный их вес дал вес «цилиндрика» слева. Разумеется, можно приравнивать не массы, а объемы – в силу одинаковости материала. Но высоты у колечек одинаковы, значит, должны совпасть площади оснований.

У цилиндра площадь основания каждого колечка . У очередного слоя конуса – . Значит, на фигуру, стоящую правее от конуса, остается . Но если предположить, что справа находится «полушар», то радиус его сечения плоскостью, отстоящей от основания на  как раз и будет равен  (см. Рис. 3).

Рис. 3. Полушар со своими измерениями

Осталось устремить  к нулю (что и дает, по сути, определенный интеграл).

Значит, объем полушара ищется как разность между объемами цилиндра и конуса.

Вычислим: , откуда . Что и требовалось доказать.

 

Выведение формулы объема шара через интеграл

 

 

Рассмотрим произвольную ось , проходящую через центр шара – точку . Тогда объем шара можно найти по формуле:

 

, где  – площадь сечения шара плоскостью, перпендикулярной оси  и проходящей через точку этой оси с абсциссой . Почему именно от  до ? Потому что если ось проходит через центр, то точки пересечения оси с границей шара находятся на расстоянии  от начала координат: одна – в положительном направлении, а другая – в отрицательном (см. Рис. 4).

Рис. 4. Ось  пересекает шар в точках  и

Найдем . Пусть  – точка с абсциссой  на оси. Рассмотрим такую точку , что она лежит на границе шара и при этом в плоскости сечения. В этом случае радиус сечения  находится из треугольника  по теореме Пифагора . А так как сечение – круг данного радиуса, то его площадь равна:  (см. Рис. 5).

Рис. 5. Радиус сечения  из треугольника

Тогда:

 

Пример

 

 

Предположим, что вы купили арбуз, имеющий форму шара. Арбуз этот состоит из мякоти (также в форме шара) и корки. При этом толщина корки в  раза меньше радиуса мякоти . Какую часть от объема всего арбуза составляет объем мякоти ? (См. Рис. 3.)

 

Рис. 6. Купленный арбуз

Решение. Пусть радиус (толщина) корки , тогда радиус мякоти , а радиус всего арбуза . (См. Рис. 4.)

Рис. 7. Иллюстрация к условию

Имеем: объем мякоти а объем арбуза , значит, их отношение .

Ответ: .

 

Шаровой сегмент

 

 

Шаровой сегмент в пространстве чем-то похож на круговой сегмент в плоскости. Вспомним, что такое круговой сегмент. Фигура, которая образовалась при отсечении проведенной в круге хордой, называется сегментом. Хорда рассекает круг на два сегмента (см. Рис. 8).

 

Рис. 8. Два круговых сегмента – маленький и большой

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Не забывайте слово «шаровой»: хоть по контексту это обычно и понятно, но тем не менее сегмент – это плоская фигура. Соответственно, если проводить любую секущую плоскость, шар разбивается на два шаровых сегмента (см. Рис. 9).

Рис. 9. Два шаровых сегмента – маленький и большой

Круг в сечении – основание сегмента (см. Рис. 10).

Рис. 10. Основание сегмента

Отрезок  – высота сегмента (см. Рис. 11).

Рис. 11. Высота сегмента

Сегмент задают либо радиусом шара и высотой сегмента, либо радиусом основания и высотой сегмента.

Объем шарового сегмента выводится точно так же, как и объем шара.

Пусть дан шар радиуса , от него отсекли сегмент высотой . Рассмотрим ось , проходящую через центр шара  и центр секущей плоскости  (см. Рис. 12).

Рис. 12. Данный шар

Тогда объем сегмента равен (подставляем уже выведенную формулу для ):

.

 

Шаровой слой

 

 

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями (см. Рис. 13).

 

 

Рис. 13. Шаровой слой

Объем шарового слоя находится по формуле: .

 

Шаровой сектор

 

 

Рассмотрим произвольную секущую плоскость данного шара, не проходящую через его центр. Она отсекает сегмент (рассмотрим тот из них, который не содержит центр шара, то есть меньший). Кроме того, рассмотрим конус, основанием которого будет сечение шара плоскостью, а вершиной – центр шара. Объединение конуса и сегмента называют шаровым сектором (см. Рис. 14).

 

Рис. 14. Шаровой сектор

Объем шарового сектора находится как сумма объемов конуса и шарового сегмента

Пусть дан шар, в котором  , , тогда  и  (по теореме Пифагора из треугольника ) (см. Рис. 15).

Рис. 15. Данный шар

Имеем:

.

То есть , где  – радиус шара и  – высота сегмента.

 

Заключение

 

 

Была выведена формула для нахождения объема шара , были разобраны части шара – шаровой слой, шаровой сегмент, шаровой сектор – и были выведены формулы нахождения их объема:  , , .

 

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Bymath.net (Источник).
2. Yaklass.ru (Источник).
3. Sites.google.com (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Шар пересечен плоскостью. Диаметр окружности сечения равен  см. Вычислите объем меньшего сегмента, если радиус шара равен  см.
2. Два шара, радиусы которых  см и  см, имеют общий центр. Найдите объем тела, содержащегося между поверхностями этих шаров.
3. Радиус шара равен  см. Найдите объем шарового сектора этого шара, если дуга в его осевом сечении содержит .