Математика

Введение

 

Мы с вами живем на планете Земля, которая, с некоторыми допущениями, имеет форму шара. А сколько места на поверхности этой планеты? (См. Рис. 1.)

 

Рис. 1. Планета имеет форму шара

Если мы очистим яблоко, поверхность какой пощади можно покрыть его кожурой? (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Очищенное яблоко

Сколько краски потребуется для того, чтобы покрасить какой-либо шарик? (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Шарик для покраски

Чтобы ответить на все эти и многие другие вопросы, необходимо уметь находить площадь сферы.

 

Метод нахождения площадей фигур

 

 

Обычно мы находили площади объектов путем разбиения их на знакомые нам фигуры и складывали площади полученных фигур. (См. Рис. 4.)

 

Рис. 4. Разбиение объекта на знакомые фигуры

Но сферу трудно разбить на какие-либо объекты: она, с одной стороны, объемная, а с другой стороны, мы хотим посчитать площадь, поэтому ни на «квадратики», ни на другие фигуры мы разбить ее не можем. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Сфера

 

План для нахождения формулы площади сферы

 

 

Шаг 1. Опишем около сферы произвольный многогранник. (Сфера должна касаться всех граней многогранника). (См. Рис. 6.)

 

Рис. 6. Вписанная сфера

Шаг 2. Соединим центр сферы с каждой вершиной многогранника и получим разбиение многогранника ровно на столько пирамид, сколько у многогранника граней. (Заметьте: от многогранника не требуется не только равенство граней, но и одинаковое количество вершин на этих гранях.) (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Разбиение многогранника на пирамиды

Шаг 3. Объём каждой пирамиды мы можем выразить через её высоту (которая является радиусом сферы) и площадь основания . (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Радиус сферы является высотой каждой пирамиды

Шаг 4. Поскольку объём многогранника равен сумме объёмов составляющих его пирамид, мы можем, произведя суммирование, выразить объём многогранника через площадь его поверхности и радиус вписанной сферы . (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Площадь поверхности многогранника

Шаг 5. А теперь станем неограниченно увеличивать количество граней многогранника, одновременно уменьшая размеры самой большой из них. Тогда в пределе многогранник перейдёт в шар, а зависимость между его объёмом и площадью поверхности станет зависимостью между объёмом шара и площадью поверхности сферы. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Многогранник переходит в шар

 

Выведение формулы площади сферы

 

 

Итак, нам дана сфера. Известен её центр – некоторая точка  – и её радиус – некоторое положительное число .

 

Шаг 1. Описываем около сферы многогранник, имеющий  граней. Пусть  – площадь n-й грани (; ). (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Описанный многогранник, имеющий  граней

Шаг 2. Соединяем центр сферы с каждой вершиной многогранника и получаем  пирамид. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Одна из  пирамид

Шаг 3. Объём n-й пирамиды  (так как многогранник касается сферы, то расстояние до каждой грани есть радиус). (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Данные для вычисления объёма n-й пирамиды

Шаг 4. Объём многогранника 

Шаг 5. При   сумма площадей граней многогранника также будет стремиться к площади сферы. Тогда получаем, что . Откуда . Подставим , значит, .

Теперь рассмотрим некоторые примеры.

 

Пример 1

 

 

Во сколько раз увеличится площадь поверхности мяча, если его радиус увеличится вдвое? (См. Рис. 14.)

 

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 1

Решение. Имеем: . Тогда площадь поверхности одного мяча , а второго – . Значит, .

Ответ: в  раза.

Замечание: данная задача иллюстрирует идею, что если фигура пропорционально увеличена в  раз, то её площадь увеличится в  раз, а её объём – в  раз.

 

Пример 2

 

 

Сколько кожи требуется, чтобы сшить гандбольный мяч радиусом  см, если  от площади поверхности мяча уходит на швы? (См. Рис. 15.)

 

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Найдём по выведенной формуле площадь поверхности сферы и добавим к ней .

Таким образом, получается: .

Ответ: .

---

Задача

Сравнить площади полной поверхности сферы и конуса (), у которого высота равна диаметру сферы (), а диаметр основания – образующей (). (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Иллюстрация к задаче

Решение. Пусть радиус сферы равен . Тогда высота конуса . Радиус основания конуса в  раза меньше образующей , значит, если рассмотреть прямоугольный треугольник – половину осевого сечения конуса – то из него получается, что радиус основания , высота конуса , а образующая . (См. Рис. 17.) Тогда по теореме Пифагора , откуда .

Рис. 17. Измерение элементов данных фигур

Если , то . Значит, площадь полной поверхности конуса

.

Площадь поверхности шара (по формуле) . Значит, площади поверхностей равны.

Ответ: 

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы выяснили, как выглядит формула площади сферы, разобрали, как она выводится, и решили несколько примеров на использование данной формулы.

 

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт terver.ru (Источник)

2. Интернет-сайт calc.ru (Источник)

3. Интернет-сайт bitclass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Дана площадь поверхности сферы . Определите диаметр сферы.

2. Площади поверхностей двух шаров относятся как . Найдите отношение их диаметров.

3. Объем шара равен . Найдите площадь его поверхности.