Математика

Повторение

 

Рассмотрим решение различных задач на объем шара и его частей. Напомним формулу объема шара:

 

Рис. 1 Формулы объёмов шара и сегмента

, а также объема сегмента: . (См. Рис. 1.)

На самом деле формулу объема сегмента помнить не обязательно, т. к. ее можно выводить с помощью интеграла, если вы помните.

 

Задача 1

 

 

Диаметр Луны составляет приблизительно четверть диаметра Земли. Какую часть объема Земли составляет объем Луны, если считать их шарами? (См. Рис. 2.)

 

Рис. 2 Земля и Луна

Решение. Раз диаметры отличаются в  раза, то и радиусы в  раза, то есть  (см. Рис. 3).

Рис. 3 Радиусы

Мы увидели, что если измерения некоторой фигуры изменить в  раз, то объем данной фигуры изменится в  раз. В данном случае измерение увеличили в  раза, значит, объем увеличился в  раза.

Ответ: .

 

Задача 2

 

 

Во сколько раз увеличится масса металлического шарика, если увеличить его радиус в два раза? Предполагается, что оба шарика сплошные и состоят из одинакового материала.

 

Рис. 4 Иллюстрация к задаче 2

Решение

По определению , тогда .

Раз материалы одинаковые (плотности шаров равны), то . При этом , а тогда по формуле . То есть , а значит, и массы отличаются в  раз.

Ответ: в  раз.

Важное следствие: если измерения фигур изменить в  раз, то не только объем, а и масса данной фигуры изменится в  раз при условии, что объекты однородны и состоят из одного и того же самого материала.

 

Задача 3

 

 

 

 

Рис. 5 Три сплошных металлических шарика и полученный новый
Радиусы трех сплошных металлических шариков равны ,  и  см соответственно. Эти шарики расплавили и из получившегося металла отлили новый сплошной шар. Чему будет равен его радиус? (См. Рис. 5.)

Решение. Раз масса не изменилась, а плотность одинаковая, то . Сокращаем на  и получаем, что объем нового шара будет равен сумме объемов исходных. Имеем: 

Сократим на :

 cм.

Ответ:  см.

 

Задача 4

 

 

Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания  м и высотой  см? (См. Рис. 6.)

 

Рис. 6 Шаровой сегмент

Решение

  м,  см  м. Как мы знаем, по формуле:

.

 

Рис. 7 Иллюстрация к обозначению переменных
Найдем радиус шара. Пусть он равен . Тогда имеем прямоугольный треугольник  ( – центр шара,  – центр сечения,  – точка на границе сечения), , ; . (См. Рис. 7.)

По теореме Пифагора:

м.

Осталось подставить это в формулу:

.

Ответ:.

 

Задача 5

 

 

Найти радиус шара, если известно, что его объем равен объему цилиндра с осевым сечением, имеющим форму квадрата со стороной .

 

Рис. 8 Иллюстрация условия задачи 5

Решение. Рассмотрим цилиндр из условия.
, . Значит,
(см. Рис. 9).

Рис. 9 Цилиндр из условия

С другой стороны, .

Приравнивая, имеем:

Ответ: .

 

Заключение

 

 

Сегодня мы решили ряд задач, которые используют формулы объема шара и объем сегмента, увидели, как эти формулы работают на практике, и выяснили связь между объемом и массой.

 

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт fxyz.ru (Источник)

2. Интернет-сайт math24.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «Математика? Легко!» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Шар радиуса  пересечен плоскостью на расстоянии  от центра. Найдите площадь сечения.

2. Металлический шар радиуса  переплавили в конус, высота которого – . Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания.

3. Радиусы трех шаров равны , и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.