Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

 

Эксперимент

 

Урок 5. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств

 

Теория

 

Схема решения логарифмических неравенств

 

 

Конспект урока

 

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение логарифмических уравнений и их систем. На этом уроке речь пойдет о логарифмических неравенствах и их системах.

Мы уже говорили о логарифмической функции и ее свойствах. Важным свойством, которым мы пользовались для решения логарифмических уравнений: монотонность.

Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - возрастающая функция: чем больше , тем больше . Значит, . В отличие от уравнений, здесь проверкой обойтись не удастся, поэтому необходимо учитывать ОДЗ: .

Объединяя, получаем: .

 

Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - убывающая функция: чем больше , тем меньше . Значит, .

ОДЗ: .

Объединяя, получаем:

.

 

 

Проверка ОДЗ при решении логарифмических неравенств

 

 

Лучше всего начинать решение неравенств с проверки ОДЗ. Поскольку даже на первом шаге решения можно получить выражение с измененной ОДЗ.

 

Например:

 

ОДЗ:    

             

             

А после преобразований:

ОДЗ:

   

 

Как быстро определить знак логарифма

 

 

Рассмотрим такой полезный факт: как быстро определить знак логарифма?

 

Рассмотрим два случая:

1)  : 

2)  :

Таким образом, , если  и  лежат по одну сторону от 1, и , если  и  лежат по разные стороны от 1.

 

Основные виды логарифмических неравенств

 

 

1) Простейшие

 

2) Сводящиеся к простейшим

3) С использованием свойств логарифмов

4) С заменой

5) С переменной в основании

 

Системы логарифмических неравенств

 

 

Системы логарифмических неравенств решаются аналогично системам показательных неравенств: каждое из неравенств решается по отдельности, а затем находится пересечение.

 

Пример:

На этом уроке мы обсудили метод решения простейших логарифмических неравенств, виды логарифмических неравенств и их систем. В практической части мы разберем основные методы решения логарифмических неравенств и их систем.

Полезные ссылки:

1) Алгебра 11 класс: "Логарифмические неравенства"

2) Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических неравенств"

3) Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических неравенств (продолжение)"