Математика

Показательная функция с основанием, большим единицы, методика решения неравенств

 

Напомним свойства показательной функции с основанием, большим единицы.

 

:

х – аргумент, независимая переменная; у – функция, зависимая переменная.

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

График функции – экспонента (рис. 1).

Основные свойства данного семейства функций:

1. Область определения: .

2. Область значений: .

3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.

Монотонное возрастание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени  больше единицы.

Методика решения подобных неравенств:

1. Уравнять основания степеней.

2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства.

 

Показательная функция с основанием, меньшим единицы, методика решения неравенств

 

 

Напомним свойства показательной функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля (рис. 2).

 

:

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы.

Свойства данного семейства функций:

1. Область определения: .

2. Область значений: .

3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.

Монотонное убывание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени  меньше единицы, но больше нуля.

Методика решения подобных неравенств:

1. Уравнять основания степеней.

2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства.

 

Решение конкретных примеров

 

 

Закрепим приведенную методику решением конкретных неравенств.

 

Пример 1:

а)

б)

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.б

График функции  и прямая  пересекаются в точке с координатами (4; 81). То есть  при . По условию нам нужно определить, когда , это выполняется тогда и только тогда, когда .

Пример 2:

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

График функции  и прямая  пересекаются в точке с координатами (5; ). То есть  при . По условию нам нужно определить, когда , это выполняется тогда и только тогда, когда .

Пример 3:

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

График функции  и прямая  пересекаются в точке с координатами (-1;3). То есть  при . По условию нам нужно определить, когда . Это выполняется тогда и только тогда, когда .

Пример 4:

Итак, мы рассмотрели решение простейших показательных неравенств, на следующем уроке мы перейдем к решению показательных уравнений.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 466,467.
2. Решить неравенства:
   а) ; б) ; в) ; г) .
3. Решить неравенства:
   а) ; б) ; в) ; г) .

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics-repetition.com (Источник). 
2. Terver.ru (Источник).
3. Yourtutor.info (Источник).