Математика

Понятие множества. Общая часть множеств. Объединение множеств.

Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс», однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского языка.

Для того, чтобы определить какое-либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев состоит из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Стадо коров, табун лошадей, отара овец дают нам представление о множестве. Множества могут состоять из людей, животных, растений, слов, чисел и других вещей.

Для записи множества используют фигурные скобки.

Например, запишем множество планет Солнечной системы: {Меркурий,Венера,Земля,Марс,Юпитер,Сатурн,Уран,Нептун}.

Если элементами множества являются числа, то множества называют числовым.

Например, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} – это множество однозначных чисел; {22,23,24,25,26,27} – множество натуральных чисел, расположенных между 21 и 28.

Каждое из натуральных чисел 22, 23, 24, 25, 26, 27 принадлежит множеству {22,23,24,25,26,27}. Никакое другое натуральное число не принадлежит этому множеству.

Множество натуральных чисел, расположенных между 21 и 23, состоит только из одного элемента: {22}.

Множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 22, не содержит ни одного элемента. Такое множество называют пустым множеством и обозначают знаком ∅.

Элементы множества можно записывать в любом порядке. Например, {2,3,1} и {3,2,1} – это одно и то же множество, состоящее из чисел 1, 2, 3.

Чтобы отличать множества друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита. Обозначим множество однозначных чисел буквой А, получится А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Читают так: множество А состоит из множества натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число 2 принадлежит множеству А, а число 23 ему не принадлежит. Вместо слова «принадлежит» пишут знак ∈, получается 2∈А. Вместо слов «не принадлежит» пишут знак ∉, получается 23 ∉ А.

Рассмотрим пример. Среди учащихся 5 класса в школьном хоре поют 8 человек, а 5 человек играют в школьном оркестре. На общее собрание хора и оркестра пришло не 8+5=13 учеников, а только 11, потому что 2 ученика участвуют и в хоре, и в оркестре, а 13-2=11.

Обозначим множество учеников, поющих в хоре, буквой А, а множество учеников, играющих в оркестре, буквой В. Тогда множество учеников, пришедших на собрание, является объединением множеств А и В. Множество же учеников, участвующих и в хоре, и в оркестре, является общей частью множеств А и В.

В математике объединение двух множеств А и В обозначают А∪В (∪ – знак объединения), а общую часть двух множеств А∩В (∩ знак общей части, пересечения множеств).