Математика

Введение

 

Что больше – килограмм пуха или килограмм железа (Рис. 1)?

 

Рис. 1. Иллюстрация к вопросу

Вопрос бессмысленный. В каком смысле – больше? Если сравнивать массы, то они одинаковы. Килограмм – он и есть килограмм, неважно, пуха или железа. По объему, конечно, килограмм пуха больше, т.к. он занимает больше места, чем килограмм железа. Таким образом, вопрос «Что больше?» всегда требует уточнения, ведь измерять можно разные характеристики предмета – длину, объём, массу, температуру и т.д.

 

Пример 1 (про массы животных)

 

 

Представьте, что вы со своим другом играете в игру и по телефону пытаетесь выяснить, кто тяжелее – ваш котёнок или его щенок. При этом запрещено использовать слова «грамм», «килограмм» (Рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Решение: если бы животные были рядом, мы бы легко сравнили, кто тяжелее, посадив их на разные чаши весов (Рис. 3).

Рис. 3. Измерение массы с помощью весов

Но они в разных местах. Тогда вам с другом приходится сравнивать массу котенка и щенка с массой других предметов.

Вы звоните другу и говорите, например, что котенок весит как одна книга или как два мобильных телефона (Рис. 4).

 

Рис. 4. Сравнение массы котенка с книгой и телефонами

Ваш друг тоже может сравнить своего щенка с массой книги или мобильным телефоном (Рис. 5).

Рис. 5. Сравнение массы щенка с книгой и телефонами

Но книги и мобильные телефоны разные. Что-то надо выбрать такое, что у вас и у друга весит одинаково. И вот вы догадались, что можно использовать стаканы с водой, ведь они почти не отличаются.

Вы по телефону сообщаете: «Котенок весит как два стакана воды», слышите в ответ: «Щенок весит как три стакана воды» (Рис. 6.). Котенок легче.

Рис. 6. Массы животных

Стакан воды оказался универсальной единицей измерения. В стаканах воды можно мерить массу чего угодно. Например, массу автомобиля.

Стакан воды в данном примере является единицей измерения, шкалой измерения массы разных предметов. Как только мы договорились о шкале измерений, мы запросто смогли сравнивать массу предметов, которые находятся в разных местах – просто сообщали массу по телефону. Кроме того, мы теперь можем эту массу записать и взвесить нашего котенка через год, когда он будет взрослым котом.

 

Пример 2 (про высоту дома)

 

 

Вы стоите перед высоким домом в чужом городе и по телефону хотите рассказать другу, насколько этот дом высок.

 

Вы считаете этажи. И передаете по телефону: «В доме  этажей». Ваш друг понимает, насколько дом высокий (Рис. 7.).

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Мы выбрали единицу измерения, шкалу, а именно «этаж». Этажи могут чуть-чуть отличаться, но примерно одинаковые, и, для того чтобы понять, насколько дом высокий, подходят.

 

Единицы измерения

 

 

1) Самое главное здесь было то, что мы договорились мерить в чем-то одинаковом, выбрали шкалу измерений. Само слово «шкала» на латыни означает «лестница». То есть шкала похожа на лестницу, а единицы измерения – на ступеньки. Мы можем пройти по лестнице  ступенек, а можем  (Рис. 8.).

 

Рис. 8. Пройденный путь

Наш путь мы измеряем ступеньками. Это и есть единицы измерения.

Причем ступеньки должны быть одинаковые по высоте, иначе будет очень неудобно ходить (Рис. 9).

Рис. 9. Ступеньки одинаковой высоты

2) Стаканы воды, этажи – это все примеры договоренностей, которые не являются точными. Все-таки людям необходимы были точные единицы измерения.

Постепенно люди договорились о тех единицах измерения, которыми мы пользуемся сейчас и которые мы все хорошо знаем: метры, килограммы, градусы и др.

---

Две современные системы мер

Сегодня у человечества есть договоренность – использовать один из двух наборов единиц измерения: либо метрическую систему мер, либо английскую. Английская метрическая система используется меньше, но все-таки широко.

Расстояния в метрической системе измеряют километрами, метрами и сантиметрами.

В английской – милями, ярдами, футами и дюймами.

Масса в метрической системе измеряется в килограммах и граммах, в английской – в фунтах и унциях.

Температура в метрической системе измеряется в градусах Цельсия, в английской – в градусах Фаренгейта (Рис. 1).

Рис. 1. Метрическая и английская системы мер

 

Количество предметов во множестве

 

 

Сколько учеников в классе? Сколько яиц нужно купить в магазине? Сколько людей живет в Бразилии?

 

В классе  учеников, нужно купить  десятка яиц, в Бразилии  млн человек (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к ответам на вопросы

Какие единицы измерения мы использовали? Единицы или штуки, если речь не идет о живых существах. Десятки, миллионы.

Кстати, английская система вместо десятков предложит использовать дюжины, то есть .

Выбор шкалы зависит от количества объектов во множестве и от точности, с которой мы хотим измерять. Такое измерение количества мы называем счет, пересчет, подсчет.

 

Заключение

 

 

Давайте повторим, что мы выяснили.

 

1) Что мы измеряем? Различные характеристики предметов, величины – массу, температуру, объем, длину, количество и т.д. (Рис. 11).

Рис. 11. Что мы измеряем

2) Для чего измерять? Чтобы сравнивать характеристики различных предметов, чтобы передать эту информацию на расстояние или сохранить, записать для других людей или себя (Рис. 12).

Рис. 12. Причины использования единиц измерения

3) Для измерения всегда должна быть договоренность о шкале, единицах измерения. Их должны знать все участники.

---

История возникновения некоторых единиц

Расстояние

Очень долго многие правители в разных странах придумывали свои меры длины. Часто эти единицы назывались одинаково, но обозначали разное расстояние.

Например, кроме английского фута, были русский, бразильский, японский футы и еще штук  разных футов.

И вот французские ученые примерно  лет назад решили создать единицу измерения, которую придумывает не правитель какой-то страны, а которая зависти только от природы.

Что они сделали? Линия, которая на глобусе проходит через оба полюса Земли, называется меридианом. Французские ученые поделили эту длину на  миллионов и полученную часть назвали  метр. Таким образом, длина земного меридиана –  миллионов метров (Рис. 1).

Рис. 1. Связь меридиана с единицей измерения метр

Потом Наполеон, французский император, завоевал всю Европу, и везде в Европе стали использовать этот метр. Только Англию ему не удалось победить, поэтому там осталась английская система мер, ну и английский фут.

Еще через 100 лет в 1918 году Россия тоже стала применять метрическую систему.

Масса

Для единой метрической системы сначала придумали единицу грамм. Взяли кубик воды, который имеет размеры каждой стороны 1 см. Массу этого кубика назвали граммом. Сам такой кубик имеет объем кубический сантиметр (Рис. 2).

Рис. 2. Кубический сантиметр

Если взять куб воды со стороной  см, то там уже помещается  таких маленьких кубиков и масса составит уже  граммов (или  килограмм).

Сам куб со стороной  см имеет объем  литр.

Поэтому масса  литра воды составляет  килограмм. И это совсем никакое не совпадение. Сам литр является единицей измерения объема (Рис. 2).

Рис. 2. Что такое 1 литр

Если сторону кубика увеличить до  м, то масса такого кубика будет равна  т.

Температура

В метрической системе используют градус Цельсия как единицу измерения.

Ученый Андерс Цельсий очень хорошо знал, что вода замерзает при одной и той же температуре и кипит при одной и той же температуре.

Он предложил температуру замерзания обозначить как , а температуру кипения – как .

Осталось поделить этот промежуток на  – и получился  (Рис. 3).

Рис. 3. Как появился

Мы до сих пор упоминаем его фамилию в названии, потому что есть и другие градусы.

Но теперь мы понимаем, что замерзание воды при , а кипение при  никакое не совпадение. Так были выбраны единицы измерения, такая была договоренность.

Время

Уже очень-очень давно люди стали делить сутки на  части, на  часа. Почему это было именно , никто уже не скажет.

На 12 частей делился день и на 12 – ночь (Рис. 4).

Рис. 4. Деление суток древними людьми

Каждая часть называлась час (Рис. 5).

Рис. 5. Одна часть равна одному часу

Причем так как день и ночь не всегда совпадают по длительности, то ночные и дневные часы тоже отличались друг от друга.

Со временем люди решили, что это неудобно, и стали сутки делить на  одинаковых часа, не обращая внимания на то, день на улице или ночь.

Давно люди стали час делить на  минут, а минуту – на  секунд (Рис. 6).

Рис. 6. Деление часа на минуты и минуты на секунды

Наверное, это самая старая договоренность людей, которая сохранилась до сих пор.

Конечно, современные ученые сделали разные уточнения, но самой идее, самой договоренности уже несколько тысяч лет.

 

Список рекомендованной литературы

1) Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с.: ил.

2) Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина.

3) Истомина И.Б. Математика 5 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Liceum-hlevnoe.3dn.ru (Ис­точ­ник).

2. Danilova.biz (Ис­точ­ник).

3. Infourok.ru (Ис­точ­ник).

 

Домашнее задание

1) Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 21 № 106, 107.

2) Посмотрите на рисунки 11–16, укажите, какие величины измеряют на них?

3) Какими характеристиками должны обладать единицы измерения?

4) ^*Представьте в необходимых единицах измерения.

а) 3 ч. 20 мин. = … с                        в) 20 м/с = … к/ч                            д) 7 дм 1 см = … мм

б) 1 км 140 м = … м                       г) 1200 мл = … л 200 мл               е) 33 кг 20 г = … г