Математика

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

Рассмотрим задачу. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Гусиные лапки», если надо использовать все конфеты?

Решение: Каждое из чисел 48 и 36 делится на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольшим из этих чисел является число 12. Его называют наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12 = 4) и 3 конфеты «Гусиные лапки» (36:12 = 3).

Наибольшим общим делителем чисел a и b, называется наибольшее число, на которое делятся без остатка числа а и b.

Например, у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4, а у чисел 20 и 35 НОД равен 5.

Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 35.

Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35.

Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель – число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Взаимно простыми числами называют натуральные числа, если их общий делитель равени1 1.

Например, у чисел 5 и 8, 11 и 18, 16 и 27 НОД равен 1.

Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

1. Для нахождения наибольшего общего делителя двух или более чисел, например 36 и 24, надо:

   Разложить их на простые множители

   36 = 2 * 2 * 3 * 3; 24 = 2 * 2 * 2 * 3.

2. В группах множителей, входящих в разложение этих чисел, оставить только совпадающие множители

   (2 * 2 * 3) и (2 * 2 * 3)

3. Найти произведение оставшихся множителей.

   2 * 2 * 3 = 12

   Наибольший общий делитель чисел 36 и 24 равен 12.

Рассмотрим задачу. Мальчики на 8 марта купили 54 розы и 36 гвоздик. Какое наибольшее количество букетов могут составить мальчики?

Решение:

Разложим на простые множители каждое из чисел:

54 = 2 * 3 * 3 * 3; 36 = 2 * 2 * 3 * 3.

В каждом разложении присутствует произведение 2 * 3 * 3 = 18, которое и будет наибольшим общим делителем. Значит, мальчики могут составить 18 букетов, в каждом из которых будет 54:18 = 3 розы и 36:18 = 2 гвоздики.