Математика

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим задачу. Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов?

Решение: число сантиметров пути должно делиться без остатка и на 75, и на 60, т.е. оно должно быть кратным и 75 и 60.

Выпишем числа, кратные 75.

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525…

Затем выпишем числа, кратные 60.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, …

Общими кратными чисел 75 и 60 будут числа 300, 600, …

Наименьшее из них 300. Это число называется наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Значит, наименьшим расстоянием, на котором Володя и Катя сделают целое число шагов, будет 300 см. При этом Володя сделает 300:75 = 4 шага, а Катя сделает 300:60 = 5 шагов.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно а и b.

Наименьшее общее кратное можно находить, не выписывая подряд кратные этих чисел 75 и 60. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 * 5 * 5

60 = 2 * 2 * 3 * 5

Выпишем множители, которые входят в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа.

Получаем 2*2*3*5*5 = 300. Это число и является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Сформулируем правило для нахождения наименьшего общего кратного.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1. Разложить их на простые множители.
2. Выписать множители, входящие в разложение одного из чисел.
3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4. Найти произведение получившихся множителей.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 является число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пример 1. Найдем наименьшее общее кратное чисел:

a = 3*5; b = 7*5.

НОК (a; b) = 3*5*7 = 105.

Пример 2. Найдем наименьшее общее кратное чисел:

а = 3*3*7*7; с = 2*3*3*3*5.

НОК (а; с) = 3*3*3*7*7*2*5 = 13230.