Математика

39. Признаки делимости на 10, на 5, на 2

Деление чисел издавна считалось задачей куда более трудной, чем умножение. Поэтому делить люди научились гораздо позже, чем умножать. Учёные-математики долго занимались поиском наиболее простого способа деления чисел. Данный способ называется деление «уголком», такой способ деления используем в математике, который впервые появился в Европе в 10 веке и получил название «золотое деление». Но на такой способ деление уголком обычно затрачивается много времени, а могут возникать ситуации, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет. В этом помогают простые, легко запоминающиеся признаки.

Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточное отбросить цифру 0. Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280:10 = 28.

А при делении числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3. Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

Вывод: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Число 10 – это произведение 2*5. Число 10 делится без остатка на 2 и на 5. Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 5 и на 2.

Например,

60 = 6*10 = 6*(2*5);

60:5 = 12;

60:2 = 30.

Вывод: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечетными. Из однозначных чисел четными числами являются: 0, 2, 4, 6, 8, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 – нечетные. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (они четны). Таким образом, любое натуральное число четно лишь тогда, когда в разряде единиц стоит четная цифра, и нечетна, когда в разряде единиц стоит нечетная цифра.

Вывод: если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно.

Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 – четные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 – нечетные.