Математика

Зависимые и независимые величины

 

Люди постоянно описывают мир вокруг них, окружающую их реальность. Одним из самых главных инструментов для этого являются величины. Величиной называют такое свойство предмета или объекта, которое можно измерить. Например, возраст дерева, высота дома, скорость передвижения.

 

Величины могут быть связаны, зависеть друг от друга, или нет. Рассмотрим, например, квадрат (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Длина стороны квадрата и его площадь являются связанными величинами. Если мы изменим длину стороны квадрата, то изменится и площадь (рис. 2).

Рис. 2. Изменение длины стороны квадрата влечет изменение и его площади

Рассмотрим другой пример (рис. 3). Предположим, что вы идете в школу, скорость вашего движения – это некоторая величина. В кармане у вас есть некоторое количество денег – это другая величина.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Если мы изменим скорость своего движения (первую величину), то количество денег (вторая величина) при этом не изменится. Значит, такие величины можно считать независимыми.

Очень часто нам хочется изменить какую-то величину, однако непосредственно на нее мы повлиять не можем. В таком случае мы можем повлиять на другую величину, от которой зависит первая. Например, мы хотим, чтобы суп в ложке был холоднее, понятно, что усилием воли мы суп остудить не можем. Чтобы остудить суп, мы можем на него дуть, то есть изменять величину, количество раз, сколько мы на него подули. Чем больше раз мы подули (первая величина), тем меньше (ниже) температура (вторая величина). Эти величины зависят друг от друга.

Именно в таких ситуациях важно понимать связь между одной величиной и другой, как изменение одной величины повлияет на изменение другой величины. В примере с супом это сделать просто: когда мы дуем на суп, мы понижаем его температуру, но есть ситуации, где зависимость определить сложнее.

 

Типы зависимостей

 

 

Предположим, мы ставим телефон на зарядку. Время, которое он заряжается, – первая величина. Время, которое он сможет проработать после зарядки, – другая величина. Чем дольше мы заряжаем телефон, тем дольше он сможет проработать. Так будет продолжаться до тех пор, пока телефон не зарядится полностью (рис. 4).

 

Рис. 4. Зависимость время работы телефона от времени, которое он заряжается

Рассмотрим еще один похожий пример. Чем дольше чайник стоит на огне, тем больше температура воды в чайнике. Как и в предыдущем примере, это продлится до тех пор, пока вода в чайнике не закипит.

Такие зависимости называют прямыми. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.

Существуют и другие зависимости. Например, чем больше книжек мы прочитаем, тем меньше ошибок мы потом совершаем в диктанте; чем выше мы поднимаемся в горы, тем меньше атмосферное давление (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Такие зависимости называют обратными. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Итак, при прямой зависимости обе величины изменяются в одну сторону (обе увеличиваются или обе уменьшаются), а при обратной – в разные стороны (одна увеличивается, другая уменьшается).

 

Определение зависимостей между величинами

 

 

Пример 1 (рис. 6).

 

Предположим, что ваш путь от дома до школы занимает  минут. Если увеличить скорость (первую величину) в два раза, как изменится время (вторая величина), которое необходимо, чтобы дойти до школы?

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1

Понятно, что время уменьшится в два раза. Такая зависимость называется пропорциональной. Во сколько раз изменилась одна величина, во столько раз изменилась и вторая.

 

Пример 2

Предположим, что мы покупаем молоко в магазине. И считаем стоимость покупки.

За две бутылки мы должны заплатить  рублей. Если мы захотим купить 4 бутылки (увеличить количество бутылок в  раза), то во сколько раз увеличится стоимость покупки?

Понятно, что стоимость тоже увеличится в  раза. Это еще один пример пропорциональной зависимости.

В каждом мы имели дело с пропорциональными зависимостями (рис. 7). Чем отличаются эти два примера? В примере с молоком величины изменялись в одну сторону, значит, это прямая зависимость. А в другом примере между скоростью и временем зависимость была обратная.

Итак, существуют прямо пропорциональные зависимости и обратно пропорциональные зависимости.

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

 

---

 

Другие типы зависимостей

 

Рассмотрим зависимость между стороной квадрата и его площадью. Такая зависимость прямая.

Рис. 8. Квадрат

Является ли эта зависимость пропорциональной? Легко убедиться, что нет (рис. 9).

Если сторона квадрата , то его площадь .

Если сторона квадрата , то его площадь .

Если сторона квадрата , то его площадь .

Рис. 9. Зависимость между стороной квадрата и его площадью

Очевидно, что площадь увеличивается непропорционально. Она вычисляется по формуле: , где  – площадь квадрата, а  – сторона квадрата. Если увеличить сторону в произвольное количество раз, то увеличение площади будет в квадрате относительно этого. Такую зависимость можно назвать прямая квадратичная зависимость.

Если в несколько раз увеличить все линейные размеры фигуры (например, длины сторон), то площадь всегда будет увеличиваться в квадрате относительного этого изменения.

Бывают ли обратные квадратичные зависимости? Да, такая зависимость встречается часто, например, в физике. Все тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения зависит от расстояния между этими телами. Если увеличить расстояние между телами в  раза, то сила притяжения уменьшится в  раза. Легко убедиться, что это обратная квадратичная зависимость по формуле, которая описывает закон всемирного тяготения (рис. 10): .

 – сила притяжения одного тела к другому,  – расстояние между телами

Рис. 10. Иллюстрация к примеру

Так как  находится в знаменателе, можно сказать, что зависимость обратная, а, так как  стоит во второй степени, это указывает на квадратичную зависимость.

Рассмотрим еще один пример. Объем куба вычисляется по формуле: , где  – объем куба,  – длина ребра куба. Если длину ребра куба увеличить в  раза, то его объем увеличится в  раз (рис. 11).

Рис. 11. Зависимость между длиной ребра куба и его объемом

Такую зависимость можно назвать прямой кубической зависимостью.

---

 

 

Связь пропорциональной зависимости и пропорции

 

 

Почему пропорциональная зависимость так называется? Есть ли связь между пропорциональной зависимостью и пропорцией? Да, есть, отсюда и похожие названия.

 

Возьмем две пропорциональные величины: количество бутылок молока и их стоимость. Предположим, у нас было  бутылки молока стоимостью  рублей. Увеличим количество бутылок в три раза (теперь их 6), тогда их общая стоимость  рублей.

Отношение нового количества бутылок к старому: . Отношение новой стоимости к старой: . То есть два эти отношения равны друг другу: , а равенство двух отношений мы и называем пропорцией.

Так и будет происходить с любой прямо пропорциональной зависимостью. Если мы возьмем два значения одной величины, у нас получится два значения для другой величины. Поделив новое значение величины на старое, мы получим отношение, во сколько раз изменилась первая величина, так же будет изменяться и вторая величина: .

Если есть обратно пропорциональная зависимость, то так же можно составить пропорцию. Пусть нужно перекопать огород  (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

И рассмотрим две величины: количество работников и площадь, которую им нужно перекопать. Если работников двое, то каждому нужно вскопать , если четверо, то каждому нужно вскопать . То есть такие величины связаны обратно пропорциональной зависимостью. Во сколько раз больше работников, во столько раз меньше нужно каждому работать. Обозначим количество работников как , а площадь, которую нужно каждому вскопать, как .

Для двух работников: , . Увеличим количество работников в три раза: , . Составим пропорцию:  (первое отношение   указывает на то, во сколько раз увеличилась первая величина, а , во сколько раз уменьшилась вторая).

 

Использование пропорции

 

 

Итак, когда у нас есть две пропорциональные величины, мы можем составить пропорцию. А зачем ее составлять? Одна из основных задач, которую можно решить с помощью пропорции, – это нахождение одного из неизвестных значений.

 

Пример 1

 кг яблок стоят  рубля. Сколько стоят  кг яблок? (рис. 13)

Рис. 13. Иллюстрация к примеру

У нас есть две величины: масса и стоимость, у них прямо пропорциональная зависимость (во сколько раз больше товара, во столько раз больше стоимость). Обозначим величины:

Так как зависимость прямо пропорциональна, мы можем составить пропорцию: .

Подставив известные данные, получим: . Отсюда: .

Ответ:  рублей.

 

Пример 2

Автомобиль проезжает от одного города до другого за  часов со скоростью  км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью  км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью (во сколько раз больше скорость, во столько раз меньше времени понадобится).

Обозначим:

Составим пропорцию: .

Обратите внимание, что соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставив известные значения, получим: .

Отсюда: .

Ответ: .

 

Запись прямо пропорциональной зависимости формулой

 

 

Рассмотрим следующую формулу: . В ней две величины:  и , эти величины зависимые (если менять одну, , то изменится и вторая, ).

 

Например, если ¸то ; если , то . При увеличении  в  раза  тоже увеличился в  раза. Можем составить пропорцию: .

Мы можем сказать по-другому: « получается из  умножением его на », то есть  всегда больше, чем , в  раз. Это зависит от числа, которое стоит перед , в нашем примере это . Такое число договорились называть коэффициентом пропорциональности.

Мы получили, что формула  задала прямо пропорциональную зависимость.

 

Пример

Как зависит пройденный путь от времени, если скорость движения постоянна и равна 6 км/ч?

Мы знаем формулу для нахождения расстояния: , где  – расстояние,  – скорость,  – время. В нашей ситуации скорость постоянна . Подставив скорость в формулу для нахождения расстояния, получим: . Ситуация похожа на предыдущую. За  час мы проходим  километров, за  ч –  км и т.д., число километров всегда в  раз больше числа часов, а значит, перед нами прямая пропорциональность.

Итак, любую прямую пропорциональность можно записать формулой: , где  – постоянное число, называемое коэффициентом пропорциональности.

 

---

 

Ложные пропорциональности

 

Пример 1

Люди часто играют в лотереи и хотят посчитать свои шансы на выигрыш. Рассмотрим для примера простую лотерею: каждый десятый билет выигрышный.

Если мы купили один билет, то какова вероятность нашего выигрыша? .

Если мы купим два билета, то это не означает, что вероятность повысилась в  раза и составляет теперь , так как если бы это было правдой, то при покупке  билетов вероятность выигрыша была бы  (понятно, что это не правда, так как при покупке даже  билетов все они могут оказаться проигрышными). Чтобы подтвердить, что такие рассуждения неверны, рассмотрим случай, когда мы купили билетов больше , например, . Тогда вероятность выигрыша составит , но вероятность не может быть больше  ().

Такая зависимость действительно будет прямой (чем больше билетов, тем больше вероятность выигрыша), но не будет пропорциональной.

Давайте попробуем посчитать, какая же будет вероятность выигрыша при покупке  билетов. Для этого посчитаем сначала, какая вероятность того, что мы проиграем. Вероятность того, что первый билет проиграет: , такая же вероятность того, что проиграет второй билет. Тогда вероятность того, что оба билета проигрышные: . Зная вероятность проигрыша, найдем вероятность выигрыша: . Обратите внимание, когда мы рассуждали неправильно, мы получили вероятность , а на самом деле вероятность .

Попробуйте самостоятельно определить вероятность выигрыша при покупке  билетов. Если вы проделаете это правильно, то получите .

 

Пример 2

Еще один пример – вознаграждение за труд. Всегда ли будет верно утверждение: «Во сколько раз я больше работаю, во столько раз я больше получаю»? Не всегда.

Представим следующую ситуацию. Принцесса, которая очень любит подснежники, просит нас пойти в лес и принести их ей, чем больше, тем лучше. После этого все цветы будут посчитаны, и все участники получат вознаграждение:  монет поделят пропорционально вкладу каждого. Пусть для простоты участников двое, они и соревнуются за количество полученных монет. Если оба они собрали по  подснежников, то каждый получит  монет (рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру

Если, например, второй участник соберет еще  подснежников, то есть в три раза больше, чем было, то он получит больше монет, рассчитаем их количество. Первый собрал  штук, а второй в три раза больше, значит, первый получит  монет, а второй – в три раза больше,  монет. Итак, он увеличил свой труд в три раза, а вознаграждение не увеличилось в три раза (было  монет, а стало  монет), хотя и вознаграждение было поделено справедливо (каждый участник получил вознаграждение, пропорциональное его вкладу). Так произошло, потому что оплата за труд в данном примере ограничена и не может расти пропорционально изменению труда.

 

Заключение

 

 

Все, что мы можем измерить, обозначить числом, мы называем величиной. Две величины могут быть связаны друг с другом (говорят, величины зависят друг от друга) или не связаны (не зависят друг от друга). Зависимости бывают прямые (когда изменение одной величины приводит к изменению второй величины в ту же самую сторону) и обратные (когда увеличение одной величины приводит к уменьшению другой). Пропорциональные зависимости – это те, при которых изменение в несколько раз одной величины приводит к изменению в такое же количество раз другой величины, при этом пропорциональные зависимости могут быть как прямыми (прямо пропорциональная зависимость, или прямая пропорциональность), так и обратными (обратнопропорциональнаязависимость, или обратнаяпропорциональность). Для любой пропорциональной зависимости можно построить пропорцию, для этого нужно два значения одной величины (, ) и соответствующие им два значения второй величины (, ). Отношения этих значений равны друг другу. При прямой пропорциональности дроби расположены одинаково: . При обратной пропорциональности эти дроби перевернуты относительно друг друга: . Для прямо пропорциональной зависимости всегда можно записать формулу вида , где  – постоянная величина, называемая коэффициентом пропорциональности.

 

 

---

 

Зависимости в реальном и идеальном мирах

Если увеличивать сторону квадрата, то увеличивается и его площадь. Эта зависимость является прямой. Мы можем увеличивать сторону до бесконечности, и площадь также будет увеличиваться до бесконечности.

Рассмотрим следующую формулу:  (прямо пропорциональная зависимость). Как и в случае с квадратом, мы можем увеличивать  сколь угодно долго, а  при этом так же будет пропорционально увеличиваться.

Это два идеальных примера, в реальной жизни все обстоит несколько иначе. Например, в реальной жизни не существует математических квадратов, существуют только объекты, которые на них похожи. Например, каток. Мы можем увеличивать его сторону, при этом будет расти и площадь. Но увеличивать до бесконечности мы ее не можем.

Или еще один пример: чем старше дерево, тем оно выше. Так не будет продолжаться до бесконечности, в какой-то момент такая прямая зависимость закончится (дерево перестает расти).

Еще один пример. Чем сильнее мы растягиваем пружину, тем длиннее она становится (рис. 15). Здесь зависимость близка к прямо пропорциональной, в  раза больше сила, тогда в 2 раза больше и длина пружины.

Рис. 15. Иллюстрация к примеру

Однако в какой-то момент пружина распрямится, и изменение силы уже не будет влиять на ее длину. А после этого она может и совсем порваться.

В примере с чайником мы говорили, что зависимость между температурой воды в чайнике и временем, которое он стоит на огне, прямая. Но так будет продолжаться до тех пор, пока вода не нагреется до температуры кипения, после этого она нагреваться не будет.

Итак, никакая зависимость в реальном мире не может сохранять свой характер (например, прямую пропорциональность) бесконечно долго, в какой-то момент зависимость поменяет свой характер или вообще закончится.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «interneturok.ru» (Источник)

2. Интернет портал «interneturok.ru» (Источник)

3. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

 

 

Домашнее задание

1) Определите, прямая или обратная зависимости между величинами:

1. Скорость движения и пройденный путь

2. Время, которое мы едим суп, и количество супа в тарелке

3. Количество бутылок и их стоимость

4. Время, которое мы слушаем музыку на телефоне, и время, которое телефон проработает

2) Приведите примеры прямо и обратно пропорциональных зависимостей.

3) На пошив  одинаковых платьев уходит  метров ткани. Сколько метров ткани необходимо, чтобы пошить  таких платьев?

4)  яблок поделили поровну между пятью детьми. Во сколько раз меньше яблок досталось бы каждому ребенку, если бы было  детей?