Математика

Введение

 

Посмотрите на эту картинку (Рис. 1). Это БелАЗ – один из самых больших карьерных грузовиков в мире.

 

Рис. 1. БелАЗ

Но как понять, насколько он большой? Может это игрушка? (Рис. 2)

Рис. 2. Игрушечная машина

Или машина размером с трёхэтажный дом? (Рис. 3)

Рис. 3. Машина размером с трёхэтажный дом

Теперь давайте посмотрим на другую фотографию. Здесь уже можно сделать вывод о размерах грузовика – он раза в  выше взрослого человека, в  раза выше КамАЗа и т.д. (Рис. 4).

Рис. 4. Размеры БелАЗа в сравнении с КамАЗом и человеком

Теперь мы можем прикинуть его высоту: средний рост человека мы знаем – приблизительно  метр  сантиметров. Значит, высота грузовика чуть больше  метров (Рис. 5).

Рис. 5. Приблизительные размеры БелАЗа

Если вы найдёте в Интернете его характеристики, то убедитесь, что данная оценка очень близка к истине.

Какой вывод мы можем сделать? Для того чтобы по изображению можно было узнавать истинные размеры объекта, необходимо иметь какой-то эталон – объект, длину которого мы знаем. В нашем примере это был человек, рост которого мы знаем.

 

Что такое масштаб

 

 

Измерять высоту в людях, КамАЗах, машинах неудобно (потому что высота у людей, машин может быть разной). Поэтому лучше использовать универсальные единицы измерения (сантиметры, метры, километры) и прибор, позволяющий измерять размеры, например, линейку.

 

Измерим высоту линейкой – получилось  см (Рис. 6).

Рис. 6. Измеряем высоту БелАЗа

Если бы мы знали, сколько в  см на фотографии «настоящих» сантиметров, то легко посчитали бы высоту машины: если в  см на картинке  «настоящих» сантиметров (то есть на фотографии картинка уменьшена в  раз), то -сантиметровый грузовик в жизни окажется -сантиметровым, или -метровым (Рис. 7).

Рис. 7. Размеры БелАЗа

На самом деле только что мы научились измерять расстояния по карте. Действительно, если мы знаем, что на карте  см равен  км на местности (Рис. 8), то расстояние длиной  см на карте – это  км на местности (Рис. 9).

Рис. 8.

Рис. 9.

Отношение размеров изображения к истинным размерам объекта назвали масштабом. Обозначают его буквой . В нашем случае . Читается так: «масштаб  к ».

Числитель дроби соответствует размеру изображения, а знаменатель – реальному размеру.

Запись  означает, что реальные размеры в  раз больше нарисованных.

Запись масштаба в виде дроби практически не используют, и мы обычно его видим в таком виде: .

Обычно масштабом пользуются при чтении карт и чертежей домов или деталей.

 

Виды масштаба

 

 

Не всегда изображение меньше реального объекта. Чертеж может быть одинакового размера с деталью или большего размера (если деталь сама мелкая).

 

• Если масштаб меньше единицы (то есть изображение меньше реального объекта), то его называют масштабом уменьшения. Например: . Изображение в  раз меньше реального объекта. Такой масштаб мы встречаем на картах, на чертежах домов или больших деталей, планах квартир.
• Если масштаб больше единицы (то есть изображение больше реального объекта), то его называют масштабом увеличения. Например: . Изображение в  раз больше реального объекта. Такой масштаб встречается при изображении мелких деталей и, например, насекомых.
• Если масштаб равен единице (то есть изображение по размеру равно реальному объекту) – , то говорят, что изображение выполнено в натуральную величину. Мы часто видим такой масштаб у манекенов в магазине. Их размер равен реальному размеру человека.

 

Использование масштаба

 

 

Вот две карты разного масштаба – города и страны (Рис. 10). Масштаб первой карты , второй – .

 

Рис. 10. Карты города и страны

Оба масштаба – это дроби. Так как в первом случае знаменатель меньше, то сам масштаб больше: .

Для масштабов употребляют слова не «больше» и «меньше», а «крупнее» и «мельче». В данном случае  крупнее, а  мельче.

 

Пример

 

 

На карте расстояние от города до деревни  см (Рис. 11). Масштаб карты . Найти истинное расстояние от города до деревни.

 

Рис. 11. Расстояние на карте

Решение

Такой масштаб означает, что реальный размер в  раз больше изображенного на карте.

Умножим измеренную длину на 

Ответ:  км.

Для достаточно мелких масштабов (с большим знаменателем) после умножения получается очень большое число. Количество нулей мы уменьшаем, переводя сантиметры в метры или километры.

Иногда для нашего удобства этот перевод уже осуществлен. На карте можно увидеть такую запись: . Это не математическая запись (мы знаем, что 1 см не равен 2 км).

Чтобы вернуться к записи масштаба в виде отношения, нужно перевести километры в сантиметры: .

Но пользоваться первой записью масштаба достаточно удобно.

Если на карте расстояние равно  см, то в реальности оно означает  км (Рис. 12).

Рис. 12. Решение задачи с помощью первой записи масштаба

 

Задачи

 

 

Задача 1. Длина железной дороги Москва – Санкт-Петербург равна  км. Какой длины будет ее изображение на карте масштаба ? (Рис. 13)

 

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Масштаб является уменьшающим. Изображение меньше реального в  млн раз. Поделим реальный размер на это число:

Ответ:  см.

Задача 2. Ширина детали равна  мм. Какова будет ее ширина на чертеже ? (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Масштаб увеличивающий. Значит, ширина на чертеже будет в  раз больше: .

Ответ:  см.

 

Заключение

 

 

Итак, повторим.

 

Масштаб – это отношение размера изображения к реальному размеру:

Если изображение меньше реального объекта, то масштаб уменьшающий. Числитель у него – единица, а знаменатель показывает, во сколько раз изображение уменьшено. Чем больше знаменатель, тем мельче масштаб ().

Если изображение больше реального объекта, то масштаб увеличивающий. Знаменатель – единица, а числитель показывает, во сколько раз изображение увеличено. Чем больше числитель, тем крупнее масштаб 

Представим следующую ситуацию. Длина детали , а на чертеже получилось . Это будет означать, что . Или длина детали , а на изображении – . Тогда . Вопрос: почему мы не сталкиваемся с такими записями масштабов? Ведь могут встретиться такие размеры? Да, могут. И такой масштаб можно было бы указать, но тогда он стал бы сложнее для перевода. Такие дроби сокращают, чтобы или числитель, или знаменатель был равен . Получаем, что .

В качестве домашнего задания попробуйте составить план своей комнаты в масштабе . Кроме самой комнаты, начертите свою кровать, стол, шкаф.

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 6 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г., М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.

2. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г., М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. - М.: 2010; Ч.2 - 128с..

3. Математика. Учебник для 6 класса, Виленкин Н.Я. и др., М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет портал «Школьная математика» (Источник)

3. Интернет портал «Mathematics-repetition.com» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Расстояние между городами  км. Какой длины получится отрезок, соединяющий их на карте, если масштаб карты ?

2. Расстояние на карте Кемеровской области между городами Юрга и Кемерово равно  см. Масштаб карты . Вычислите расстояние на местности.

3. Найдите масштаб карты. Расстояние между двумя пунктами на местности, равное  м, изображено на карте отрезком длиной  см.