Математика

Введение

 

Если маленькому ребёнку показать две машинки в одной комнате, он их посчитает:  (Рис. 1.).

 

Рис. 1. Две машинки в одной комнате

Если теперь показать ему три машинки в другой комнате, их он тоже без проблем посчитает:  (Рис. 2.).

Рис. 2. Три машинки в другой комнате

А если теперь спросить, сколько всего машинок в двух комнатах, то он, скорее всего, попытается их перенести в одну комнату и посчитать:  (Рис. 3).

Рис. 3. Пять машинок в одной комнате

Это пример предметного счёта.

Мы же справимся быстрее, поскольку знаем, что , независимо от того, что мы складываем: машинки, дома, орехи, шаги. И независимо от того, где они находятся друг относительно друга.

Этот переход совершило человечество в свое время. И каждый человек проходит этот путь. Незаметно для себя он уходит от предметного счета и начинает считать абстрактно. Но иногда люди возвращаются к предметному счету. Это вроде бы шаг назад. Для чего это может быть нужно? Здесь два варианта:

1. нужно пересчитать предметы, их количество нам важно: например, считаем количество книг на полке или количество шагов от дома до дерева;
2. чтобы разобраться, откуда появляются правила, которые мы применяем, иногда полезно вернуться к предметному счету. И, может быть, тогда мы сможем понять причину, почему правила выглядят именно так.

Сегодня мы поговорим о сложении чисел как раз с точки зрения предметного счета. В качестве объекта для этого мы возьмем точки на числовой прямой. Это удобнее, чем другие предметы. Кроме бумаги и ручки, ничего не надо.

Кроме того, нам необходимо научиться связывать точки пространства с числами. Эта идея будет часто использовать для решения не только математических задач, но и, например, в физике, которую вы начнёте изучать чуть позже.

 

Сложение положительных чисел с помощью координатной прямой

 

 

Для начала давайте обсудим правило, которое мы давно знаем: от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Мы настолько привыкли к этому, что даже не задумываемся: а почему так? Что такое ? Это от нуля пять шагов, а потом еще три шага. Всего  (Рис. 4).

 

Рис. 4.

Но ведь можно посчитать и в обратную сторону. И это уже  (Рис. 5).

Рис. 5. Верно и в обратную сторону

Но расстояние, количество шагов, одно и то же. И это верно для суммы любых двух чисел.

 

Сложение чисел разных знаков с помощью координатной прямой

 

 

Мы говорили о том, что отрицательные числа вводились таким образом, чтобы они подчинялись тем же правилам (законам), что и положительные числа. Давайте убедимся, что для отрицательных чисел сумма также не будет меняться при перестановке.

 

Каждое число состоит из знака и модуля. Знак показывает, в какую сторону нужно двигаться, а модуль – на сколько единиц. Начинаем отсчет от . Например, убедимся, что . Посчитаем с помощью координатной прямой значение и того, и другого выражений.

 (Рис. 6)

Рис. 6.

 (Рис. 7)

Рис. 7.

 

Примеры

 

 

Рассмотрим ещё несколько примеров.

 

1. Чему равна разность

Первое число . Знак перед ним не стоит, значит, подразумевается плюс, движение вправо. От нуля движемся вправо на  единицы. От точки  переходим влево на  единиц. Приходим в точку :  (Рис. 8).

Рис. 8.

2. Чему равна разность

 значит, что движемся от нуля влево на . От точки  движемся влево на  единицы. Получаем точку .  (Рис. 9).

Рис. 9.

 

Задание

 

 

Найти значение выражений.

 

1. 

Движемся от нуля влево на  шага, а затем от  вправо на  шага. Приходим в точку  (Рис. 10).

Рис. 10.

2. 

Начинаем от нуля. Движемся влево на  единицы, а затем от  еще на  единиц влево. Приходим в точку  (Рис. 11).

Рис. 11.

3. 

Начинаем от нуля. Двигаемся вправо на  шага, затем влево на  шага, и еще раз влево на  шага. Приходим в точку  (Рис. 12).

Рис. 12.

4. 

Начинаем от нуля. Движемся влево на  шага, затем вправо на  шага. Приходим в точку  (Рис. 13).

Рис. 13.

5.  

Так как , то сначала сдвигаемся вправо на  единиц, потом влево на  единиц. Приходим в точку  (Рис. 14).

Рис. 14.  при

6.  

Первый шаг от нуля – влево (так как ). Противоположное число , является положительным. Прибавить  означает сдвиг вправо на положительное число . Приходим в точку  (Рис. 15).

Рис. 15.  при

Получили, что разность  всегда, не зависимо от того, положительное число  или отрицательное (Рис. 16).

Рис. 16.  для любых

 

Заключение

 

 

Итак, числовая прямая – это способ вернуться к предметному счету. В качестве предметов тут выступают точки. Такой подход помогает нам понять основные свойства арифметических операций. Например, что перестановочное свойство верно для любых чисел, не только положительных. Использовать числовую прямую как технику или помощь в сложении не нужно. Правила алгебраического сложения очень просты и не требуют дополнительных инструментов. Изучению этих правил мы посвятим следующие уроки.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 6 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г., М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014.
2. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г., М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. - М.: 2010; Ч.2.
3. Математика. Учебник для 6 класса, Виленкин Н.Я. и др., М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет портал «mathematics-repetition.com» (Источник)
3. Интернет портал «cleverstudents.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. На какой координатной прямой (Рис. 1) верно выполнено действие ?

Рис. 1. Координатные прямые

2. С помощью координатной прямой найдите сумму чисел: а) ; б) ; в) ; г) .

3. С помощью координатной прямой найдите сумму чисел: а) ; б) ; в) ; г) .