Математика

52. Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

Например, если умножить $\frac{8}{15}$ на $\frac{15}{8}$, то получится 1 – эти числа взаимно обратные.

$\frac{8}{15}\bullet \frac{15}{8}=\frac{8\bullet 15}{15\bullet 8}=1$.

Другой пример – числа 3 и $\frac{1}{3}$, при умножении которых получится $3\bullet \frac{1}{3}=1$.

Также и числа 4,4 и $\frac{5}{22}$ взаимно обратны, потому что $4,4\bullet \frac{5}{22}=\frac{44}{10}\bullet \frac{5}{22}$

Если нужно определить, являются ли два числа взаимно простыми, необходимо эти числа перемножить.

Если ответ равен единице, числа – взаимно обратные.

Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:

1. Если число натуральное, например 7, представить его в виде дроби $\frac{7}{1}$ и перевернуть дробь – $\frac{1}{7}$.

   Действительно, $7\bullet \frac{1}{7}=1$.

2. Если дробь обыкновенная, например $\frac{3}{8}$ , ее надо перевернуть – $\frac{8}{3}$ .

   Действительно, $\frac{3}{8}\bullet \frac{8}{3}=\frac{3\bullet 8}{8\bullet 3}=1$.

3. Если число смешанное, например $3\frac{2}{3}$ , представить его в виде неправильной дроби $\frac{11}{3}$ и перевернуть дробь $\mathit{–}\frac{3}{11}.$

   Действительно, $3\frac{2}{3}\bullet \frac{3}{11}=\frac{11}{3}\bullet \frac{3}{11}=1$.

4. Если десятичная дробь, например 5,8, представить его в виде дроби $\frac{58}{10}$ и перевернуть дробь $–\frac{10}{58}.$

   Действительно, $5,8\bullet \frac{10}{58}=\frac{58}{10}\bullet \frac{10}{58}=1$.

Сформулируем общее правило.

Число $\frac{a}{b}$, где а ≠ 0 и b ≠ 0, обратно числу $\frac{b}{a}$, так как $\frac{a}{b}·\frac{b}{a}=\frac{a·b}{b·a}=1$

Пример 1. Найдем значение выражения, для этого сгруппируем взаимно обратные дроби и затем найдем произведение:

$\frac{5}{11}\bullet \frac{3}{7}\bullet \frac{7}{3}=\frac{5}{11}\bullet \left(\frac{3}{7}\bullet \frac{7}{3}\right)=\frac{5}{11}\bullet 1=\frac{5}{11}$.

Если число х сначала умножить на некоторое число а , а потом на число, обратное а , то получим опять х.

$x\bullet a\bullet \frac{1}{a}=x\bullet 1=x$

Например, $x\bullet 5\bullet \frac{1}{5}=x\bullet 1=x$.

С помощью взаимно обратных чисел можно решать некоторые уравнения.

Пример 2. Решим уравнение $\frac{3}{4}x=1$.

$x=1:\frac{3}{4}=1\bullet \frac{4}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$.

Пример 3. Решим уравнение $\frac{8}{9}x=\frac{8}{9}$.

$x=\frac{8}{9}:\frac{8}{9}=\frac{8}{9}\bullet \frac{9}{8}=1$.