Математика

Рациональные числа. Свойства действий с рациональными числами.

Название «рациональные числа» происходит от латинского слова «рацион», что значит «отношение, деление».

Рассмотрим числа:

-3; 2; 0 – целые числа

$\left.\begin{array}{l}\frac{6}{2}-\frac{2}{3}-\text{обыкновенные дроби}\\ \text{-3}\text{,513; 0}\text{,23}\text{- десятичные числа}\end{array}\right\}\text{дробный числа}$

$2\frac{2}{7}$; $-4\frac{2}{3}$ – смешанные числа

Сначала записаны примеры целых чисел. 2 – это целое положительное число, -3 – это целое отрицательное число. Число ноль – целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Далее записаны примеры положительных и отрицательных дробных чисел, а затем примеры смешанных чисел.

Запишем эти числа записать в виде отношения а к n:

$\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{n}}$ , где a – целое число, а n – натуральное число.

Любое целое число можно записать в виде такой обыкновенной дроби, взяв за знаменатель единицу, а за числитель – само это число.

Например, $-3=\frac{-3}{1}$, здесь $\mathit{а}=-3,n=1.$

Рассмотрим обыкновенные дроби. Число $\frac{6}{7}$ уже представляет собой искомую дробь.

Дробь $-\frac{2}{3}$ можно записать как $\frac{-2}{3}$. Отметим удобный технический прием: знак минус, который стоит перед дробью, можно при необходимости записать или в числитель, или в знаменатель.

Представим рассматриваемые десятичные дроби как обыкновенные.

$-3,513=\frac{-3513}{1000}$ (здесь а = -3513, n = 1000) и $0,23=\frac{23}{100}$ (здесь а = 23, n = 100).

Итак, любую десятичную дробь можно записать в виде $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{n}}$. Для этого нужно:

1. В числитель записать саму десятичную дробь, отбросив запятую.
2. В знаменатель записать соответствующий знаменатель десятичной дроби.

Любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

Например, $2\frac{2}{7}=\frac{16}{7}$ (а = 16, n = 7); $-4\frac{2}{5}=\frac{-22}{5}$ (а = -22, n = 5).

Итак, мы смогли записать все данные числа в виде отношения а к n. Более того, мы поняли, как найти а и n для любого известного нам числа. Значит, мы получили признак, который объединяет их в одно множество. Это множество называется множеством рациональных чисел. Сформулируем определение.

Число, которое можно записать в виде отношения $\frac{\mathit{a}}{\mathit{n}}$ , где а – целое число, n –натуральное число, называют рациональным числом.

Например,

$0,75=\frac{3}{4}$ (а = 3, n = 4)

$-\frac{5}{7}=\frac{-5}{7}$ (a = 5, n = 7)

$0,31=\frac{31}{100}$ (a = 31, n = 100).

Сумма, разность и произведение рациональных чисел – тоже рациональные числа.

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел – тоже рациональное число.

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичной дроби.
Например, если будем делить 1 на 3, то получим сначала нуль целых, потом три десятых, а далее при делении все время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3 . Деление никогда не кончится. В таком случае разрешено писать бесконечные десятичные дроби, например, $\frac{1}{3}=0,33333\dots$ или $\frac{1}{3}=0,\left(3\right)$.

Такие записи называют периодическими дробями.

Множество рациональных чисел обозначают Q. Множество натуральных чисел, целых чисел являются подмножествами множества рациональных чисел.

$\mathit{N}\mathit{\complement }\mathit{Q},\mathit{Z}\mathit{\complement }\mathit{Q}\mathit{.}$

Рассмотрим свойства действий с рациональными числами.

1. Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а, b и c – любые рациональные числа, то

   $\mathit{а}\mathit{+}\mathit{b}\mathit{=}\mathit{b}\mathit{+}\mathit{а}$

   $\mathit{а}\mathit{+}\mathit{(}\mathit{b}\mathit{+}\mathit{с}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{(}\mathit{а}\mathit{+}\mathit{b}\mathit{)}\mathit{+}\mathit{с}$

   Например:

   $\frac{1}{3}+\frac{5}{17}+\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)+\frac{5}{17}=1+\frac{5}{17}=1\frac{5}{17}$

2. Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:

   $\mathit{а}\mathit{+}\mathit{0}\mathit{=}\mathit{а}$

   $\mathit{а}\mathit{+}\mathit{\left(}\mathit{–\; а}\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{0}$

   Например:

   $\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$; $\frac{5}{13}+\left(-\frac{5}{13}\right)=0$.

3. Умножение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Если а, b и c – рациональные числа, то:

   $\mathit{ab}\mathit{=}\mathit{ba}$

   $\mathit{a}\mathit{\left(}\mathit{bc}\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{\left(}\mathit{ab}\mathit{\right)}\mathit{c}$

   Например:

   $\frac{13}{15}\bullet \frac{5}{17}\bullet 1\frac{2}{13}=\frac{13}{15}\bullet \frac{5}{17}\bullet \frac{15}{13}=\left(\frac{13}{15}\bullet \frac{15}{13}\right)\bullet \frac{5}{17}=1\bullet \frac{5}{17}=\frac{5}{17}$

   $\frac{5}{7}\bullet 5\frac{3}{11}:\frac{5}{7}=\left(\frac{5}{7}:\frac{5}{7}\right)\bullet 5\frac{3}{11}=1\bullet 5\frac{3}{11}=5\frac{3}{11}$

4. Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любого рационального числа а имеем:

   $\mathit{а}\mathit{·}\mathit{1}\mathit{=}\mathit{а}$

   $\mathit{а}\mathit{·}\frac{\mathit{1}}{\mathit{а}}\mathit{=}\mathit{1}\mathit{,}\mathit{если\; а}\mathit{\ne }\mathit{0}$

5. Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:

   $\mathit{а}\mathit{·}\mathit{0}\mathit{=}\mathit{0}$

6. Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   если $\mathit{а}\mathit{·}\mathit{b}\mathit{=}\mathit{0}$, то либо$\mathit{ }\mathit{а}\mathit{=}\mathit{0}$,либо $\mathit{b}\mathit{=}\mathit{0}$ (может случиться, что и $\mathit{а}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{,}\mathit{и}\mathit{b}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{ }\mathit{)}\mathit{.}$

7. Умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и c имеем:

   $\mathit{(}\mathit{а}\mathit{+}\mathit{b}\mathit{)}\mathit{с}\mathit{=}\mathit{ас}\mathit{+}\mathit{bс}$

   Например:

   $\left(\frac{3}{7}+\frac{3}{5}\right)\bullet \frac{1}{3}=\left(\frac{3}{7}\bullet \frac{1}{3}\right)+\left(\frac{3}{5}\bullet \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{7}+\frac{1}{5}=\frac{12}{35}$.