Математика
Тема 11: Многочлены: арифметические операции и разложение. Профильный уровеньУрок 1: Многочлены
- Теория
Многочлены стандартного вида
На прошлом уроке мы ввели новую конструкцию: многочлен – сумма одночленов.
Например,
Зачем нужны многочлены
Мобильный телефон – очень удобное и полезное устройство. С его помощью можно не только звонить и писать СМС, но и сидеть в интернете, социальных сетях, играть в разные игры. В общем, скучным и бесполезным его точно не назовёшь.
А видели ли вы, как производят телефоны? Большой завод, на котором штампуются разные непонятные микросхемы, пластмассовые детали, затем всё это соединяется. В целом и общем – рутинное, однотипное занятие, не всегда даже понятно, зачем та или иная деталь нужна, как она помогает телефону выполнять свои функции.
И это касается не только телефонов. Почти любой полезный результат, который мы наблюдаем, скрывает за собой много рутинной работы. Фигуристы, чтобы показать 5 минут красивой программы, ежедневно по несколько десятков раз выполняют одни и те же упражнения и т. д.
В математике всё то же самое. Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например многочленами.
Терминология
Мы говорим: «многоэтажный дом», потому что в нём «много этажей». Аналогично многочлен – это «много членов».
Например, членами многочлена 
являются 
и 
.
В данном примере два одночлена, в таких случаях многочлен называют двучленом. Если их три – то трехчленом (например, 
).
Обратите внимание, что, когда мы называли члены многочлена, мы назвали именно , а не 
. Поскольку многочлен – это СУММА одночленов, то знак минус относится к числовому коэффициенту одночлена: 
.
Для наглядности можно воспользоваться эквивалентной записью этого же многочлена:
Для удобства классификации одночлены («сумма одного члена») также относят к многочленам. И в этом нет ничего странного. Например, в кафе столик для официанта занят независимо от того, сидит за ним 1 человек или 10. Или заказ для таксиста: не важно, сколько поедут человек: 1, 2, 3 или 4.
Таким образом, для описания структуры многочленов можно использовать следующую иллюстрацию:
Рис. 1. Структура многочленов
В зависимости от задачи число 3 можно представлять различными способами:
Но работать с числами, которые записаны по-разному, неудобно. Поэтому запись в десятичной системе счисления принято считать стандартной (для такой записи есть алгоритмы выполнения арифметических операций, можно сравнивать числа друг с другом и т. д.).
Мы уже вводили стандартный вид для одночленов. Естественно ввести такой стандарт и для многочленов.
Многочлен 
можно записать разными способами:
Нужно выбрать такой способ записи, чтобы было удобно выполнять различные арифметические операции с многочленами.
Многочлен может содержать в себе подобные одночлены. На прошлом уроке мы уже научились складывать подобные одночлены, поэтому естественно, когда они встречаются в многочлене, их сложить, тем самым упростив многочлен:
Если в многочлене привести (т. е. сложить) все подобные одночлены, а также записать их в стандартном виде, то мы получим многочлен стандартного вида.
Многочлен, который состоит из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
Например,
Зачем тренировать технику?
На самом деле, ничего сложного в работе с многочленами (приведение к стандартному виду, арифметические операции с многочленами) нет.
Алгоритмы действий (которые мы в дальнейшем изучим и потренируемся применять) легко программируются, поэтому сегодня всю техническую работу можно поручить компьютеру.
Но мы отрабатываем навыки работы с различными выражениями, чтобы в дальнейшем применять их для решения, например, уравнений, которые возникают при работе над различными прикладными задачами.
Пример 1.
Выбрать среди многочленов те, которые записаны в стандартном виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– в многочлене содержится одночлен 
, записанный не в стандартном виде;
– в многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;
– в многочлене содержится одночлен 
, записанный не в стандартном виде;
– в многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно 
);
– в многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно 
).
Таким образом, многочленами стандартного вида являются:
Ответ: 
.
Пример 2.
Привести многочлены к стандартному виду:
Ответ: 
.
Итак, мы ввели новый объект – многочлены. Научимся с ними работать, т. е. выполнять арифметические действия.
Степень многочлена
Числа 354 и 755 похожи: в них по три цифры. А вот числа 14 592 и 12 различаются: в одном 5 цифр, в другом – 2. Т. е. числа можно классифицировать по количеству цифр, в них входящих.
Для многочленов, записанных в стандартном виде, можно ввести подобную классификацию – по степени старшего слагаемого. Для этого вводят понятие степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен состоит.
Многочлены, которые тождественно равны 0, называют ноль-многочленами.
Например:
У таких многочленов степени нет.
Пример 1.
Определить степень многочленов:
– многочлен второй степени, т. к. степень одночлена 
– вторая, а 
– нулевая;
– многочлен шестой степени, поскольку степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, которые в него входят: 
;
– многочлен нулевой степени;
– нет степени.
Ответ: 2; 6; 0; нет степени.
Почему говорят именно о степени многочлена стандартного вида? 
– это многочлен первой степени, а 
– ?
Если бы в определении степени многочлена не было слова «стандартный», то ответ был бы 2. Но понятно, что оба этих многочлена эквивалентны, поэтому степень у них должна быть одинакова:
Поэтому говорят именно о степени многочлена стандартного вида (и это ещё один пример пользы введения стандартного вида многочлена).
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит минус?
Вова, Володя, Владимир – разные записи одного и того же имени.
– это сокращённая запись выражения 
.
Тогда запись 
– сокращённая запись выражения 
.
Такое умножение мы можем выполнить, пользуясь распределительным законом:
Т. е. мы получим:
Так можно поступать при раскрытии любых скобок, перед которыми стоит знак минус. Кроме того, можно заметить и запомнить, что в таком случае нужно поменять знак перед каждым слагаемым.
Сложение и вычитание многочленов
Потренируемся складывать и вычитать многочлены (эти операции сводятся к сложению и вычитанию одночленов, а это мы делать уже умеем):
Пример 3.
Упростить выражения:
Вспомним, что если перед скобками стоит знак «+», то скобки просто можно опустить, а если знак «-», то все слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Ответ: 
.
Умножение многочленов
Запишем распределительный закон:
Пример 4.
Упростить выражения:
Используем распределительный закон.
Пусть 
, тогда 
:
Ответ: 
.
Еще раз проанализируем действия, которые мы выполняем на примере 
:
В полученном многочлене содержатся произведения каждого члена первого многочлена на каждый член второго.
Обобщим: чтобы умножить два многочлена, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные произведения сложить:
Пример 5.
Упростить выражение:
Ответ: 
.
Деление многочленов
Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу, как и деление чисел – столбиком (уголком) – это подбор. Только подбор алгоритмизируемый. В частности, для деления многочленов нам пригодится понятие степени многочлена, которое мы вводили.
Пример 1.
Выполнить деление:
Заметим, что:
Запишем в столбик:
Обратите внимание: у нас получился остаток, степень которого меньше степени делителя. В этом случае деление прекращается. Вспомните, что аналогично мы поступали при делении чисел в столбик: деление с остатком прекращалось, как только остаток становился меньше делителя.
Таким образом,
Ответ: 
.
Могут ли многочлены делиться друг на друга нацело? В нашем примере получилось деление с остатком:
Но бывает и так, что многочлены делятся нацело.
Пример 2.
Выполнить деление:
Заметим, что:
Проверка:
Ответ: 
.
Заключение
На этом уроке мы рассмотрели новый объект – многочлены. Также мы научились работать с ними, а именно складывать, вычитать и умножать многочлены. Для сложения и вычитания нам достаточно навыков работы с одночленами, а для умножения многочленов необходимо использовать распределительный закон .
Список литературы
- Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
- Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2014.
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2013.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
- Интернет-портал «ru.wikipedia.org» (Источник)
Домашнее задание
1. Определить степень многочлена и найти его значение при 
:
2. Преобразовать выражение в многочлен стандартного вида:
3. Преобразовать произведение многочленов в многочлен стандартного вида:
